Aufgabenstellungen Kompakt "Teilen in gleich große Teile"

Abbildung 1: Aufgabenstellung kompakt

Basisaufgabe

„Falte ein rechteckiges Papier immer in vier gleich große Teile. Finde unterschiedliche Möglichkeiten und färbe immer einen Teil. Wie kannst du überprüfen, ob die Teile gleich groß sind?“ 

Material: Papierrechtecke gleicher Größe, Stifte

Im Rahmen dieser Basisaufgabe setzen sich die Lernenden einführend mit der Grundvorstellung Bruch als Anteil auseinander. Im Fokus steht dabei die Erkenntnis, dass ein Ganzes immer in gleich große Teile unterteilt werden muss. Die Aktivitäten sind auf die Auseinandersetzung mit den Stammbrüchen (Zähler = 1) reduziert. Eine Erweiterung und Vertiefung erfolgen in der Aufgabenstellung kompakt Teil-Ganzes-Anteil.

Zuerst erhalten die Lernenden mehrere Seiten rechteckiges Papier und finden in Zweiergruppen verschiedene Möglichkeiten, die Blätter in vier gleich große Teile zu falten. Jeweils einen der vier Teile färben die Lernenden immer ein.
Anschließend kommen sie in Gruppen zusammen, vergleichen ihre Faltungen miteinander und sortieren doppelte aus.  

Mögliche Impulse für die Gruppenarbeit:

  • Auf diesem Blatt sehen die Dreiecke unterschiedlich aus. Wie kannst du überprüfen, ob sie trotzdem gleich groß sind?
  • Jedes Blatt wurde in vier gleich große Teile geteilt. Es sind unterschiedliche Rechtecke und Dreiecke entstanden. Was kannst du über die Größe der unterschiedlichen Teile sagen? Begründe deine Antwort.

Abschließend werden die Ergebnisse zusammengetragen und diskutiert, welche Faltungen unterschieden werden können und woran der gleiche Flächeninhalt der einzelnen Teile erkannt werden kann. 

Darstellung von insgesamt 5 Rechtecken aus DIN A4-Blättern mit unterschiedlichen Faltlinien und farbig markiertem Anteil. Rechteck 1: durch Falten an der Mitte der kurzen und langen Seite entstehen vier gleich große Rechtecke. Rechteck oben links ist markiert. Rechteck 2: durch Falten an der Mitte der langen Seite und erneutes Falten an der Mitte der entstandenen kurzen Seite entstehen 4 Rechtecke nebeneinander. Erstes Rechteck von links ist markiert. Rechteck 3: durch Falten der beiden Diagonalen entstehen vier Dreiecke. Linkes Dreieck an der kurzen Seite ist markiert. Rechteck 4: durch Falten der beiden Diagonalen entstehen vier Dreiecke. Oberes Dreieck ist markiert. Rechteck 5: durch Falten an der Mitte der langen Seite und Falten der Diagonalen der linken und rechten unteren Ecke zur Mitte oben entstehen vier Dreiecke. Zweites Dreieck von rechts ist markiert
Abbildung 2: Beispiele für unterschiedliche Faltungen

Mögliche Reflexionsfragen für die Abschlussphase:

  • Warum muss das blaue Rechteck gleich groß wie die drei anderen Rechtecke des Blattes sein?
  • Aynur vergleicht das blaue und grüne Rechteck und sagt: „Das blaue und das grüne Rechteck sind gleich groß.“ Hat sie Recht? Begründe.
  • Orkan sagt: „Das orangefarbene und das hellblaue Dreieck sind gleich groß.“ Emily widerspricht: „Die beiden Dreiecke können nicht gleich groß sein, denn sie sehen unterschiedlich aus.“ Wer hat Recht? Begründe.
  • Das blaue Rechteck und das hellblaue Dreieck sind gleich groß. Überlege und begründe, warum das so ist. 

Die Lernenden können ihre Aussagen ...

  • verbal begründen: „Das blaue und das grüne Rechteck müssen gleich groß sein, weil das gleich große Ausgangsrechteck zweimal halbiert wird.“
  • materialgestützt begründen, indem sie Faltungen und Teile zerschneiden (s. o. und Abb. 3), Teile aufeinander- bzw. umlegen und diese Handlungen beschreiben: „Das orangefarbene Dreieck wird entlang seiner Höhe zerschnitten und dann zu dem hellblauen Dreieck umgelegt.“ (s. Abb. 4).
Abbildung, die mögliche Anteilsstrukturen eines Rechtecks zeigt nach unterschiedlichen Faltstrategien. Links: Rechteck mit roter vertikaler Linie an der Mitte der langen Seite. Davon ausgehend zwei Pfeile nach rechts oben und links unten. Am oberen Pfeil vom Ursprungsrechteck: Rechteck mit roter gestrichelter vertikaler Linie an der Mitte der langen Seite und einer horizontalen roten Linie von der Mitte der vertikalen Linie nach links gezogen. Zwei kleinere Rechtecke entstehen und das obere links ist blau markiert. Pfeil nach rechts: Die vorherige Abbildung wird gezeigt, wobei nun das blau markierte kleine Rechteck mittels einer vertikalen roten Linie an der Mitte seiner langen Seite halbiert wird. Es entstehen zwei kleinere Rechtecke. Pfeil nach rechts: Von der vorangegangenen Abbildung wird das rechte kleinere Rechteck unterhalb des linken blauen kleinen Rechtecks angeordnet. Zwischen dem rechten kleinen blauen Rechteck der zweiten Abbildung und dem unteren kleinen Rechteck ist das gleiche Rechteck rot gestrichelt dreimal dargestellt. Am unteren Pfeil vom Ursprungsrechteck: Rechteck mit gestrichelter roter vertikaler Linie an der Mitte der langen Seite. Die so entstandene linke Hälfte ist geteilt mit einer weiteren roten vertikalen Linie. Von den so entstanden zwei schmalen Rechtecken ist das linke grün markiert. Pfeil nach rechts: Die vorherige Abbildung wird gezeigt, ergänzt um eine horizontale rote Linie, welche das grüne schmale Rechteck an der langen Seite in zwei kleine Hälften teilt. Pfeil nach rechts: Von der vorangegangenen Abbildung wird das untere kleine Rechteck nach oben rechts, neben das obere grüne kleine Rechteck angeordnet. Zwischen dem unteren kleinen Rechteck der zweiten Abbildung und dem linken kleinen Rechteck der dritten Abbildung ist das gleiche Rechteck rot gestrichelt viermal dargestellt.

Abbildung 3: Beispiel für die Darstellung einer Begründung durch Falten, Zerschneiden und Umlegen

 

Abbildung zweier DINA4-Blätter im Querformat, die beide in den Diagonalen gefaltet wurden. Es entstehen jeweils vier Dreiecke. Beim linken Blatt ist das Dreieck an der linken Seite orange markiert. Beim rechten Blatt ist das Dreieck an der langen Seite blau markiert. Beide markierten Dreiecke werden halbiert, wodurch zwei kleinere Dreiecke entstehen. Das obere Dreieck des linken Blatts und das linke Dreieck beim rechten Blatt ist jeweils rot umrandet. Zwischen beiden Dreiecken wird das gleiche Dreieck viermal rot gestrichelt dargestellt, um eine Drehung anzudeuten. Das untere Dreieck des linken Blatts und das rechte Dreieck des rechten Blatts ist grün umrandet. Zwischen beiden Dreiecken wird das gleiche Dreieck dreimal grün gestrichelt dargestellt, um eine Verschiebung anzudeuten.
Abbildung 4: Beispiel für die Darstellung einer Begründung durch Zerschneiden und Umlegen

Hinweise zur sprachlichen Unterstützung

An dieser Stelle kann die Lehrkraft die Einführung erster Fachbegriffe durch gezielte Gesprächsimpulse unterstützen:

  • Beobachtungen anregen: „Was stellt der jeweils gefärbte Teil dar?“
    Es handelt sich um einen Teil eines Ganzen, genau gesagt, um ein Viertel.
  • Fachbegriffe einführen: „In der Mathematik gibt es für diesen Teil einen bestimmten Begriff – wisst ihr, wie man diesen Teil nennt?“ Der Begriff ein Viertel wird eingeführt.
  • Bedeutung klären: Die Lernenden äußern Vermutungen zur Wortbedeutung („eins von vier Teilen“). Die Lehrkraft ergänzt bei Bedarf: „Ein Viertel ist einer von vier gleich großen Teilen eines Ganzen.“
  • Weitere Beispiele finden: „Welche anderen Begriffe kennt ihr, die auch einen Teil eines Ganzen bezeichnen?“ (ein Drittel, drei Viertel, ein Fünftel,…)
  • Fachbegriff „ein Anteil“: Die Lehrkraft erläutert den Begriff „ein Anteil“: Ein Anteil beschreibt, in welchem Verhältnis ein Teil zum Ganzen steht.

Basisaktivität

Hinweis: Anders als in den anderen Aufgabenstellungen kompakt, die auf den Seiten von Mathe inklusiv mit PIKAS zu finden sind, bauen die folgenden Basisaktivitäten aufeinander auf. So sollte das Falten weiterer Anteildarstellungen vor den anderen Basisaktivitäten durchgeführt werden und das Verknüpfen verschiedener Anteildarstellungen erst dann erfolgen, wenn die Lernenden bereits eine oder mehrere Basisaktivitäten bearbeitet haben.

Falten weiterer Anteildarstellungen

Material: Papierrechtecke in verschiedenen Größen, Stifte, Plakate, Kleber

„Faltet Rechtecke in gleich große Teile. Findet unterschiedliche Möglichkeiten. Färbt jeweils einen Teil. Erstellt Plakate für unterschiedliche Anteile.“

Mit dieser Aufgabe vertiefen die Lernenden die Grundvorstellung Bruch als Anteil. Sie erkennen, dass Anteile sich immer auf ein Ganzes beziehen, Anteile eines Ganzen immer gleich groß sind und gleiche Anteile unterschiedlich aussehen können.

Die Lernenden erhalten rechteckiges Papier in verschiedenen Größen und finden möglichst viele Lösungen, Darstellungen zu den ausgewählten Anteilen zu falten und zu färben. Für einzelne Lernende können ausgewählte Hinweise hilfreich sein (z.B. Teile müssen nach dem Falten nicht exakt aufeinanderliegen, Rechteck nach dem Falten aufklappen und Teilflächen weiter falten, Blatt vor dem Falten ausmessen). Werden Blätter mehrfach gefaltet, können die Faltungen ungenau und auch unmöglich werden. In diesem Fall können Faltungen durch das Abmessen und Zeichnen von Linien mit einem Lineal ersetzt werden. Dies setzt voraus, dass die Lernenden Faltvorgänge in ihrer Vorstellung durchführen und genau zeichnen können.

Die Lernenden erstellen mit den gefalteten Papieren im Rahmen einer Gruppenarbeit ein Plakat zu dem ausgewählten Anteil. Hierzu diskutieren sie, welche Anteildarstellungen gleich sind und deshalb nur einmal auf das Plakat geklebt werden können und ob es noch weitere Möglichkeiten der Faltung gibt. 

In der Reflexion präsentieren die Gruppen ihre erstellten Plakate und erklären und begründen ihre Faltungen und Färbungen.

 

Plakat "Ein Achtel"

Lernendenplakat: In der Mitte steht „ein Achtel“. Darum herum angeordnet: unterschiedlich große Rechtecke und Quadrate, die teils horizontal und vertikal, teils diagonal gefaltet wurden, sodass acht Teile entstehen. Ein Teil ist jeweils farblich markiert.
Abbildung 5: Beispiel für ein Anteilplakat zum Anteil ein Achtel

Mögliche Fragen für die Reflexion:

  • Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede haben die Anteile / Rechtecke auf dem Plakat? 
  • Welche weiteren Möglichkeiten gibt es, Rechtecke zu falten?
  • Welche Faltungen passen gut auf dieses Plakat? Welche Faltungen passen nicht so gut? Begründe. 
  • Zwei Rechtecke wurden gleich gefaltet und unterschiedlich gefärbt. Warum sind die Anteile gleich und nicht unterschiedlich?

 

Unterschiedlich aussehende Teile

DIN-A4-Blatt im Querformat als Beispiel für unterschiedlich aussehende Teile. An der langen Seite ist im rechten Winkel mittig eine Faltlinie. Die linke Hälfte wurde wiederum halbiert. Dadurch sind zwei kleinere Rechtecke erkennbar. Die rechte Hälfte wurde in der Diagonalen von rechts unten zur Mitte oben gefaltet. Dadurch sind zwei Dreiecke ersichtlich.
Abbildung 6: Beispiele für eine Faltung mit unterschiedlichen Teilen
  • Bei manchen Faltungen sehen nicht alle Teile gleich aus. Warum ist trotzdem immer der gleiche Anteil dargestellt?

 

Umgang mit doppelten Faltungen 

Lernendenplakat: Vier rechteckige Blätter mit unterschiedlichen Seitenlängen. Jedes Rechteck wurde in der Mitte der kurzen Seite sowie zur Mitte der langen Seite gefaltet. Die kurzen Seiten wurden zudem beide nochmal zur Mitte der langen Seite gefaltet. Es entstehen jeweils 8 kleine Rechtecke. In jedem der Rechtecke ist ein Teil markiert.

Abbildung 7: Beispiel für ein Plakat mit doppelten Faltungen

  • Joshua sagt: „Diese drei Faltungen sind gleich und damit doppelt.“ Welche Faltungen könnte er meinen? Begründe.
  • Würdet ihr zwei der Faltungen, die Joshua meint, aussortieren? Begründet. 
  • Überlegt euch für diese Gruppe Tipps, wie sie doppelte Faltungen vermeiden könnte.
  • Bei der Faltung rechts unten wurde zuerst zu viel gefärbt und dann ein Teil weiß gefärbt. Welcher Anteil wurde weiß gefärbt? Welcher Anteil wäre gefärbt, wenn nichts weißgefärbt worden wäre?

Basisaktivität

Sortieren rechteckiger Anteildarstellungen

„Findet Rechtecke, die in gleich große Teile geteilt sind.“ 

Material: Tablet und Sortierdateien oder Materialsatz und Sortiertafel

In dieser möglichen Basisaktivität unterscheiden die Lernenden zwischen Ganzen, die in gleich große Teile geteilt sind und Ganzen, die in unterschiedlich große Teile geteilt sind. Sie erfahren, dass es sich nur dann um die gesuchten Anteile handelt, wenn alle Teile gleich groß sind, und vertiefen so ihr Verständnis von Anteilen.

Die Lernenden sortieren entweder digital (zum Beispiel an einem Tablet) oder mit vorbereitetem Material unterschiedliche Rechteckabbildungen zu jeweils einem vorgegebenen Anteil in die Felder einer Sortiertafel: Hier gibt es die Kategorien „gleich große Teile“, „nicht sicher“, „unterschiedlich große Teile“ und „zu viele oder zu wenige Teile“ (für die digitale Umsetzung vgl. Abb. 8).

Bild der digitalen Sortiertafel. Links oben Aufgabenstellung: „Finde Rechtecke: Das Ganze hat vier gleich große Teile. Das Rechteck stellt den Anteil ein Viertel dar.“ Tabelle zur Zuordnung mit drei Spalten. Erste Spalte: „gleich große Teile“. 2 Karten wurden zugeordnet mit jeweils einem Rechteck darauf, das in unterschiedlicher Weise in vier gleichmäßige Teile eingeteilt wurde. Zweite Spalte: „nicht sicher“. 2 Karten wurden zugeordnet mit jeweils einem Rechteck darauf, die unterschiedlich aufgeteilt wurden und nicht klar hervorgeht ob es vier gleich große Teile darstellt. Dritte Spalte: „unterschiedlich große Teile“. 2 Karten wurden zugeordnet mit jeweils einem Rechteck, das in unterschiedlich große Teile aufgeteilt wurde und keine gleichmäßigen Flächen durch vertikale, horizontale oder diagonale Faltungen aufweist. Unten links Ordner mit Beschriftung: „zu viele oder zu wenige Teile“, darin sind bereits einige Karten einsortiert
Abbildung 8: Digitale Sortiertafel mit einsortierten Karten

Einige der vorbereiteten Rechtecke weisen dabei Besonderheiten auf, die als Gesprächsanlässe genutzt werden können.

  • Rechtecke, deren Teile teilweise unterschiedlich aussehen und alle groß sind. Diese Teile können im Kopf zerlegt und neu zusammengesetzt oder ausgemessen werden (s. o.).
Drei Abbildungen von Rechtecken, die alle unterschiedlich gefaltet wurden, deren Anteile jedoch alle jeweils flächengleich sind. 1. Abbildung: Ein Rechteck im Querformat, das in beide Diagonalen gefaltet ist. Das Dreieck oben an der langen Seite ist blau markiert. 2. Abbildung: Ein Rechteck im Querformat, das in mehrere gleich große vertikale Abschnitte an der langen Seite unterteilt ist. Jeweils drei schmale Rechtecke rechts und links von den kurzen Seiten des Ursprungsrechtecks sind zu erkennen. In der Mitte sind zwei Rechtecke die doppelt so breit sind wie eines der drei rechts bzw. links sich befindenden schmalen Rechtecke. Die beiden größeren Rechtecke sind jeweils diagonal gefaltet. Das Rechteck ganz rechts an der kurzen Seite des Ursprungsrechtecks, ist blau markiert. 3. Abbildung: Ein hochkant stehendes Rechteck, das parallel zur kurzen Seite unten horizontal gefaltet ist, sodass ein schmales Rechteck im Querformat entsteht. Das darüberliegende entstehende Rechteck ist in der Mitte parallel zur langen Seite gefaltet, wodurch zwei schmale hochkant stehende Rechtecke entstehen. Durch eine weitere horizontale Faltung über dem schmalen Rechteck entstehen zwei kleine Rechtecke im Querformat. 2 hochkant stehende Rechtecke befinden sich über den kleinen Rechtecken. Das linke ist in der Mitte seiner langen Seite gefaltet. 2 kleine Rechtecke im Querformat entstehen, wobei das obere rot markiert ist. Das rechte ist in der Diagonalen von links oben nach rechts unten innerhalb seiner Grenzen gefaltet. 2 Dreiecke sind erkennbar.
Abbildung 9: Beispiele für Abbildungen, deren Teile unterschiedlich aussehen und gleich groß sind
  • Rechtecke, die in unterschiedlich große und zu wenige bzw. zu viele Teile geteilt sind. Diese Rechtecke können zwei Feldern zugeordnet werden.
Abbildung links zeigt eine falsche Darstellung des Anteils ein Zehntel mit unterschiedlich großen und zu vielen Teilen: Rechteck mit elf anstatt zehn Anteilen. Es ist mit kleinem Abstand zur unteren Kante parallel gefaltet. Oberhalb dieser Faltung wurde die Fläche in 10 gleich große kleine Rechtecke unterteilt. Das Rechteck unten rechts ist markiert. Abbildung rechts zeigt eine falsche Darstellung des Anteils ein Achtel mit zu wenigen Teilen: Rechteck mit sieben anstatt acht Anteilen. Es sind 6 parallele vertikale Linien eingezeichnet, wobei das Rechteck rechts doppelt so groß ist wie die anderen. Dadurch entstehen sieben anstatt acht Rechtecke. Das Rechteck links ist braun markiert.
Abbildung 10: : Beispiele für Abbildungen mit unterschiedlich großen und zu vielen Teilen (links: falsche Darstellung für den Anteil ein Zehntel) oder zu wenigen Teilen (rechts: falsche Darstellung den Anteil ein Achtel)
  • Rechtecke, die in gleich große Teile geteilt sind, deren Anzahl aber größer oder kleiner ist als im Arbeitsauftrag genannt. Für diese Abbildungen schlagen wir das „zu wenige oder zu viele Teile“-Feld vor, da der mathematische Fokus auf der Darstellung des richtigen Anteils und nicht auf den gleich großen Teilen liegen sollte.
Es gibt zwei Abbildungen, die fehlerhafte Abbildungen für den Anteil ein Viertel zeigen. Abbildung links zeigt die fehlerhafte Abbildung von fünf gleich großen Teilen: Hochkant stehendes Rechteck, das horizontal in drei Abschnitte mit 2 Linien eingeteilt ist. Der obere und mittlere Abschnitt ist gleich groß, der untere ist kleiner. Der obere Abschnitt wurde mit einer diagonalen Linie von der linken oberen Ecke zur rechten unteren Ecke in zwei Dreiecke unterteilt. Der mittlere Abschnitt wurde durch eine vertikale Linie in der Mitte der kurzen Seite in zwei Hälften unterteilt. Der untere kleinste Abschnitt ist nicht weiter unterteilt und grau markiert. Abbildung rechts zeigt die fehlerhafte Abbildung von drei gleich großen Teilen: Rechteck im Querformat, das links zu einem Drittel mit einer vertikalen Linie parallel zur kurzen Seite eingeteilt ist. Ein schmales hochkant stehendes Rechteck ist erkennbar. Der rechte größere Teil des Rechtecks ist mit einer Linie horizontal in der Mitte parallel zur langen Seite bis zum vorher entstandenen Rechteck eingeteilt. Zwei Rechtecke im Querformat entstehen. Das obere davon ist orange markiert.
Abbildung 11:

Fehlerhafte Abbildungen mit fünf bzw. drei gleich großen Teilen auf der Sortiertafel für den Anteil ein Viertel

  • Rechtecke, die in unterschiedlich große Teile geteilt wurden, bei denen das Ganze und der gefärbte Teil aber „trotzdem“ den gesuchten Anteil darstellt. Bei diesen Abbildungen entscheidet die Lehrkraft gemeinsam mit den Lernenden, ob die Karten in die Spalte „gleich große Teile“, „unterschiedlich große Teile“ oder bei der Nutzung des ausgedruckten Materials vielleicht sogar auf ein neues Feld gelegt werden. Diese Besonderheit kann als Gesprächsanlass genutzt und dann mit der Erweiterung „Sortieren ungewöhnlicher Anteildarstellungen“ vertiefend oder im Rahmen der Erweiterung behandelt werden. Im Mittelpunkt der Gespräche über diese Besonderheit sollte immer die Frage stehen, ob und warum die gefärbten Teile im Verhältnis zum Ganzen die gesuchten Anteile darstellen oder nicht.
Abbildung links: Rechteck im Querformat, das vertikal in der Mitte der langen Seite halbiert wurde. 2 hochkant stehende Rechtecke entstehen. Das linke kleine hochkant stehende Rechteck, ist von der rechten unteren und oberen Ecke mit jeweils einer Diagonalen zur Mitte der linken langen Seite desselben Rechtecks gefaltet. Zwei kleine Dreiecke und ein großes Dreieck sind erkennbar. Das rechte kleine hochkant stehende Rechteck ist in der Diagonalen von der linken oberen Ecke zur rechten unteren Ecke gefaltet. Zwei große Dreiecke sind erkennbar. Abbildung rechts: Rechteck im Querformat, dass an der kurzen Seite zweimal gefaltet ist, drei schmale Rechtecke im Querformat sind erkennbar. Die ersten beiden schmalen Rechtecke sind gleichmäßig in drei Teile an der langen Seite gefaltet. Nur das letzte schmale Rechteck ist in drei ungleichmäßige Teile gefaltet. 9 kleine rechteckige Flächen sind ersichtlich, wovon nur sieben gleich groß sind.
Abbildung 12:

Beispiele für Abbildungen mit unterschiedlich großen Teilen

Die Lernenden arbeiten mindestens zu zweit an einem Kartensatz mit Sortiertafel bzw. an einem Tablet, wählen abwechselnd eine zur Beschreibung passende Karte aus, sortieren diese in die entsprechende Spalte ein und begründen ihre Spaltenwahl. Der Ablauf des Sortierprozesses kann vor der Arbeitsphase (zum Beispiel am Smartboard) beispielhaft gezeigt werden.

Wenn alle Karten einsortiert wurden, werden die Entscheidungen für die einzelnen Felder noch einmal gemeinsam überprüft und gegebenenfalls korrigiert sowie eventuell vorhandene Karten in dem „nicht sicher“-Feld begründet in eines der beiden anderen Felder verschoben. Wichtig ist dabei, dass die Lernenden für die Abbildungen die Einsortierung in die jeweiligen Felder immer wieder wie schon in der Basisaufgabe durch Messen oder Zeigen an der Abbildung oder „Zerlegen und Umlegen von Teilen im Kopf“ begründen.

Die Sortierungen können dann dokumentiert (digital durch die Speicherung der Dateien mit den sortierten Abbildungen, beim Materialsatz durch ein Foto) und in einer Reflexionsphase am Smartboard präsentiert werden. Wenn der Materialsatz genutzt wird, kann die Reflexion auch im Rahmen eines Museumsgangs erfolgen. Die präsentierenden Lernenden nutzen dabei die Begründungen aus der Arbeitsphase und formulieren beispielsweise:

„Dieses Rechteck ist in sechs gleich große Teile geteilt, denn alle Teile sehen genau gleich aus.“

„In diesem Rechteck sind die Teile unterschiedlich groß. Wir haben das mit einem Lineal gemessen.“

„In diesem Rechteck (s. Abb. 13) sind alle Teile gleich groß. Ich kann das gefärbte Dreieck in zwei Teile zerlegen und beide Teile dann zu einem Rechteck zusammenlegen. Dieses Rechteck sieht genauso aus wie das andere Rechteck.“

Bild eines Rechtecks das an der langen Seite in drei gleich große Abschnitte gefaltet ist. Es entstehen drei gleich große hochkant stehende Rechtecke. Von der rechten unteren Ecke des ursprünglichen großen Rechtecks ist eine Diagonale gefaltet zur linken oberen Ecke des in der Mitte hochkant stehenden Rechtecks. Dadurch entsteht ein großes Dreieck, das dunkelgrün gefärbt ist. Die rechte lange Linie des mittleren hochkant stehendes Rechtecks teil das große Dreieck in ein kleineres Dreieck.Im rechten hochkant stehenden Rechteck entsteht unterhalb des großen dunkelgrünen Dreiecks ein kleineres Dreieck, das hellgrün gefärbt und rot umrandet ist.. Zwischen den beiden kleinen Dreiecken ist dieses Dreieck dreimal rot umrandet dargestellt, um eine Drehung dieser anzudeuten.
Abbildung 13: Beispiel für das Zerlegen eines Dreiecks, um Größengleichheit mit einem Rechteck zu begründen

Basisaktivität

Paare finden mit rechteckigen Anteildarstellungen

„Findet Rechtecke, die gleiche Anteile darstellen.“ 

Material: Basisaktivität: Rechteckige Anteildarstellungen – Materialausdruck

Ziel dieser Basisaktivität ist es zu erkennen, welche Rechtecke den gleichen Anteil zeigen, obwohl sie verschieden groß, unterschiedlich aufgeteilt oder anders ausgerichtet sind. Außerdem sollen die Rechtecke erkannt werden, die nicht in gleich große Teile aufgeteilt sind.

Handlungsleitend sind die folgenden Fragen:

  • „In wie viele Teile wurde das Rechteck geteilt?“
  • „Sind alle Teile dieses Rechtecks gleich groß?“
  • „Wie begründest du deine Zuordnung?“

Die Lernenden arbeiten in Kleingruppen und erhalten mehrere Kartensets. Jeweils sechs Karten bilden ein Set. Vier von den sechs Karten eines Sets stellen einen Anteil korrekt dar, die zwei übrigen Karten sind Distraktoren: Sie stellen den Anteil nicht korrekt dar.

Durch eine bewusste Auswahl der Karten bzw. ihrer Anzahl ist eine Anpassung an das Kompetenzniveau der Lerngruppe möglich.

Die Kleingruppe legt die Karten offen auf den Tisch und ordnet immer zwei Karten begründet einander zu. Am Ende gibt es Kartenpaare mit falschen Anteildarstellungen und die Kartenpaare mit korrekten Anteildarstellungen können zu Quartetten zusammengelegt werden.

Bild von zwei Karten-Paaren. Das erste Pärchen stellt jeweils ein halb dar: Linke Karte: Rechteck ist diagonal geteilt, Rechte Karte: Rechteck ist an der kürzeren Seite geteilt. Jeweils ein Teil wurde bei beiden Karten markiert. Das zweite Pärchen stellt jeweils ein Drittel dar: Linke Karte: Rechteck ist vertikal in drei Teile geteilt, rechte Karte: hochkant stehendes Rechteck, das oben zu einem Drittel mit einer horizontalen Linie parallel zur kurzen Seite eingeteilt ist Das entstehende untere Rechteck wird mit einer Linie vertikal in der Mitte der kurzen Seite halbiert eingeteilt. Zwei kleinere Rechtecke entstehen. Jeweils ein Teil wurde bei beiden Karten markiert.
Abbildung 14: Beispiele für Anteilpaare

Spielideen 

Mit den Karten können auch verschiedene Spiele gespielt werden, z. B. Memory, Quartett oder Paare finden. Auch hier kann durch eine bewusste Auswahl der Karten das Anforderungsniveau eines Spiels angepasst werden. 

Beispiel: Paare finden 
Die Karten werden gemischt und verteilt. Wer ein zusammengehöriges Paar Karten auf der Hand hat, darf dieses ablegen. Anschließend ziehen die Spielenden im Uhrzeigersinn reihum jeweils eine Karte bei ihren Mitspielenden und legen die Paare ab, die sie dadurch bilden können. Die Passung der abgelegten Paare muss begründet werden. Paare mit unterschiedlich großen Teilen werden ebenfalls abgelegt, zählen aber nicht als Anteilpaare. 
Gewonnen hat, wer am meisten Anteilpaare ablegen konnte.

Basisaktivität

Verknüpfen verschiedener Anteildarstellungen

„Findet Abbildungen und Beschreibungen, die gleiche Anteile darstellen.“ 

Material: Basisaktivität: Verknüpfen verschiedener Anteildarstellungen

Ziel der Basisaktivität ist es, das an Rechtecken entwickelte Verständnis von Anteilen auf weitere Darstellungen wie Quadrat, Bruchstreifen und Kreis zu übertragen.

Die Lernenden arbeiten in Kleingruppen. Sie erhalten Beschreibungen, Kreis-, Rechteck-, Bruchstreifen- und/oder Quadratabbildungen von Anteilen. Ihre Aufgabe ist es nun, auf einer Sortiertafel die Karten mit gleichen Anteilsdarstellungen einander zu zuordnen.

Bild einer digitalen Sortiertafel. Oben: Aufgabenstellung „Anteil-Trio. Was passt zusammen?“, daneben Rechteck, das in 6 Teile unterteilt ist, wovon einer markiert ist. Unten drei Felder, in die passende Darstellungen gezogen werden können, in die bereits Karten zu „ein Sechstel“ gezogen wurden. Links: Bruchstreifen, in der Mitte sprachliche Beschreibung „Das Ganze hat sechs gleich große Teile. Die Abbildung stellt den Anteil ein Sechstel dar.“, rechts Kreisdarstellung.
Abbildung 15: Sortiertafel Anteil-Trio mit einer Quadratdarstellung als Vorgabe und zugeordneten Bruchstreifen, Beschreibungs- und Kreisdarstellungen

Das Material enthält Karten zu neun verschiedenen Teilanzahlen. Bei Bedarf kann die Kartenauswahl um Distraktoren erweitert werden (siehe Datei). Die Karten umfassen Darstellungen in Form eines Rechtecks, eines Kreises, eines Bruchstreifens und eines Quadrats sowie Beschreibungen.

Die Startkarte auf der Sortiertafel kann sowohl eine der Bruchdarstellungen sein als auch eine Karte mit der Beschreibung (s. Abb. 15).

Auch hier gibt es die Möglichkeit, die Aufgabenstellung durch die bewusste Auswahl von Karten zu differenzieren:

Bewusste Auswahl hinsichtlich der …

  • Darstellungsformen (alle oder ausgewählte Formen)

  • Anzahl der Karten insgesamt

  • Anzahl der Karten für eine Reihe (Trio; Reduktion: Duo)

  • Anzahl der Distraktoren

Anregungen zur Arbeit mit der Sortiertafel:

  • Sortieren aller Karten mit der gesamten Lerngruppe: „Wie viele verschiedene Anteil-Trios finden wir?“
  • Sortieren ausgewählter Karten oder Kartenreihen in einer Kleingruppe: „Findet Anteil-Trios“
  • Die Karten liegen offen auf dem Tisch oder werden reihum einzeln aufgedeckt oder von den Lernenden auf der Hand gehalten
  • Die Zuordnungen müssen immer begründet werden:
    • Warum passen die Abbildungen zusammen?
    • Erklärt, wie diese Abbildungen zueinander passen.
    • Warum habt ihr diese Karte aussortiert?
    • Wie habt ihr erkannt, dass dieses Ganze unterschiedlich große Teile enthält?

Reduktion

Falten ausgewählter Rechteckformen

Falten ausgewählter Rechteckformen in 2 und 4 gleich große Teile

Material: Rechtecke unterschiedlicher Größe und Seitenverhältnissen, Stifte, Plakate, Kleber

Es gibt Lernende, denen es noch schwerfällt, eigene Ideen für Faltungen zu entwickeln oder die schnell aufgeben. Hier kann es eine Unterstützung sein, ihnen zunächst die Aufgabe zu geben, ein Papier in zwei gleich große Teile zu falten. Daran anschließend können die beiden Teile erneut gefaltet werden, so dass vier gleich große Teile entstehen. Die Lehrperson kann als weitere Hilfestellung Faltlinien einzeichnen oder den Anfang der Faltlinien andeuten.

  • Finde verschiedene Möglichkeiten, das Blatt in zwei (vier) gleich große Teile zu falten.
  • Welche Möglichkeiten gibt es, in einem Rechteck senkrecht, waagerecht oder diagonal zu falten und gleich große Teile zu erhalten?

Die gefalteten Rechtecke werden auf ein Plakat geklebt und in der Kleingruppe/ Gesamtgruppe reflektiert.

Reduktion

Sortieren rechteckiger Anteildarstellungen

„Findet Rechtecke, die in gleich große Teile geteilt sind.“ 

Material: Tablet und Sortierdateien oder Materialsatz mit Sortiertafel

In dieser Reduktion unterscheiden die Lernenden analog zur entsprechenden Basisaktivität zwischen Ganzen, die in gleich große Teile geteilt sind und Ganzen, die in unterschiedlich große Teile geteilt sind. Auch in dieser Aufgabe vertiefen sie ihr Verständnis von Anteilen, da diegefärbten Teile im Verhältnis zum Ganzen nur dann die gesuchten Anteile darstellen, wenn alle Teile gleich groß sind.

Die Lernenden sortieren auch in dieser Reduktionsaufgabe, entweder mit vorbereitetem Material oder digital, unterschiedliche Rechteckabbildungen zu jeweils einem vorgegebenen Anteil in die Felder der gleichen Sortiertafel wie in der Basisaktivität.

Im Vergleich zu den Abbildungen der möglichen Basisaktivität können sie in dieser Reduktionsaufgabe einfacher erkennen, ob die Rechtecke in gleich große oder unterschiedlich große Teile geteilt sind. So sind alle Teile der in gleich große Teile geteilten Rechtecke deckungsgleich und lediglich zum Teil um 90° gedreht. Die Teile der in unterschiedlich große Teile geteilten Rechtecke sind deutlich und ohne das Ausrechnen von Flächeninhalten oder das Zerschneiden und Umlegen von Teilen im Kopf als solche zu erkennen.

Anknüpfend an die vorangegangene Reduktionsaufgabe sollten die Lernenden zuerst mit den digitalen Sortiertafeln bzw. ausgedruckten Materialien zu den Anteilen ein Halbes und ein Viertelarbeiten. Wenn sie Sicherheit im Erkennen dieser Anteile gewonnen haben, können sie anschließend versuchen, die Abbildungen zu den anderen Anteilen zu sortieren.

Die Lernenden sortieren zu den Anteilen ein Halbes, ein Drittel, ein Viertel, ein Fünftel und ein Sechstel jeweils acht Rechteckabbildungen (s. Material) in die Felder „gleich große Teile“, „nicht sicher“, „unterschiedlich große Teile“ und „zu viele oder zu wenige Teile“ der Sortiertafel ein (für die digitale Umsetzung vgl. Abb. 16). 

Bild der digitalen Sortiertafel. Oben links Aufgabenstellung: „Finde Rechtecke: Das Ganze hat vier gleich große Teile. Das Rechteck stellt den Anteil ein Viertel dar.“ Tabelle zur Zuordnung mit drei Spalten. Erste Spalte: „gleich große Teile“. Es befinden sich 3 zugeordnete Karten mit Rechtecken die in unterschiedlicher Weise in gleich große Teile unterteilt wurden. Zweite Spalte: „nicht sicher“. Es befindet sich eine zugeordnete Karte dort mit einem Rechteck das in der Hälfte geteilt wurde. Die Linke Hälfte wurde noch einmal vertikal halbiert und die rechte Hälfte eine diagonale Faltung. Dritte Spalte: „unterschiedlich große Teile“. Es befinden sich 2 zugeordnete Karten mit Rechtecken, die in unterschiedlich große Teile gefaltet wurden. Unten links ein Ordner mit Beschriftung: „zu viele oder zu wenige Teile“, darin sind bereits einige Karten einsortiert
Abbildung 16: Digitale Sortiertafel mit einsortierten Karten

Sie legen bzw. ziehen, analog zum Vorgehen in den Basisaktivitäten, die Abbildungen (zu zweit oder in Gruppen) in die entsprechenden Felder und begründen ihre Sortierungen, z. B. durch das Messen von Seitenlängen. Diese Längen können dann ohne Rechenoperationen miteinander verglichen werden.

Die Arbeitsergebnisse werden, wie schon in den möglichen Basisaktivitäten beschrieben, gespeichert und in der Reflexionsphase am Smartboard oder ohne Speicherung im Museumsgang präsentiert. Dabei sollten die Lernenden immer wieder ihre Begründungen aus der Sortierphase vortragen:

„Dieses Rechteck ist in vier gleich große Teile geteilt, denn alle Teile sehen genau gleich aus.“

„In diesem Rechteck sind die Teile unterschiedlich groß. Das kann man sehen, weil die beiden Rechtecke auf der linken Seite viel kleiner sind als die Rechtecke auf der rechten Seite.“

Reduktion

Paare finden mit ausgewählten rechteckigen Anteildarstellungen

„Findet Rechtecke, die gleiche Anteile darstellen.“ 

Material: Reduktion: Rechteckige Anteildarstellungen – Materialausdruck

Die Karten für die Reduktion enthalten pro Bruchdarstellung zwei Kartenpaare und nur einen Distraktor. Die oben aufgeführte Basisaktivität kann wie folgt differenziert werden:

  • Anzahl der Karten wird verringert (zwei oder vier Karten zeigen den gleichen Anteil)
  • Der Distraktor pro Set wird herausgenommen vor dem ersten Spiel werden alle Karten offen auf den Tisch gelegt und gemeinsam einander zugeordnet (mit Begründung für die jeweilige Zuordnung)
  • die Karten bleiben während des Spiels offenen liegen

Reduktion

Verknüpfen ausgewählter Anteildarstellungen

„Findet Abbildungen, die gleiche Anteile darstellen.“ 

Material: Basisaktivität: Verknüpfen verschiedener Anteildarstellungen“ (Aus diesem Materialsatz wählt die Lehrkraft – abhängig vom Vorwissen der Lernenden - Anteildarstellungen aus) und „Reduktion: Sortiertafel Verknüpfen ausgewählter Anteildarstellungen

Analog zur Basisaktivität „Verknüpfen verschiedener Anteildarstellungen“ erhalten die Lernenden unterschiedliche Darstellungen von Anteilen, aber eine von der Lehrperson bewusst gewählte und reduzierte Auswahl. Wie auch in der Basisaktivität kann die Startkarte wechseln und sowohl eine Anteilbeschreibung oder auch eine Abbildung sein.

Bild einer digitalen Sortiertafel. Oben Aufgabenstellung: „Was passt zusammen?“, daneben sprachliche Beschreibung „Das Ganze hat drei gleich große Teile. Die Abbildung stellt den Anteil ein Drittel dar.“ Unten 2 Felder, in die Darstellungen eingeordnet werden können. Zwei passende Karten zu „ein Drittel“ wurden zugeordnet: ein Rechteck und ein Kreis in drei Teile unterteilt mit jeweils einem markierten Anteil.
Abbildung 17: Sortiertafel Anteil-Duo mit einer vorgebenden Beschreibung und den passenden Rechteck- und Kreisdarstellungen

Analog zur Basisaktivität werden die Lernenden auch in dieser Aufgabe sowohl beim Zuordnen der Anteildarstellungen als auch beim Aussortieren von Ganzen mit unterschiedlich großen Teilen immer wieder aufgefordert, ihre Verknüpfungen sprachlich zu begleiten und sich untereinander auszutauschen.

Erweiterung

Falten weiterer Anteildarstellungen

Erkunden von Rechtecken, die in 3, 5, 6 und 7 gleich große Teile geteilt werden  

Material: Papierrechtecke, Stifte, Plakate, Kleber

Die Erweiterung der Basisaktivität „Falten weiterer Anteildarstellungen“ besteht im Falten von rechteckigen Ganzen in 3, 5, 6 und 7 gleich große Teile. Die Lernenden arbeiten auch hier in einer Kleingruppe zusammen und finden zu einem Anteil möglichst viele Lösungen, die sie auf einem Plakat präsentieren. Es wird immer ein Teil des Ganzen farblich markiert.

Bei einer ungeraden Anzahl von Teilen führt das wiederholte Halbieren nicht zu einer Lösung. Die Lernenden sollen im Austausch in einer Kleingruppe Strategien diskutieren, erproben und überprüfen. Mögliche Strategien sind z. B.: Messen, ausprobierendes Falten, einzeichnen der Faltlinien, Berechnung des Verlaufs der Faltlinien oder die Nutzung von Hilfsmitteln. 

4 Rechtecke. Das Rechteck oben links wurde zweimal an der langen Seite gefaltet, sodass drei kleinere Rechtecke entstehen. Der linke Anteil wurde markiert. Das Rechteck oben rechts wurde zweimal an der kurzen Seite gefaltet, sodass drei lange schmale Rechtecke entstehen. Der oberste Anteil wurde markiert. Das Rechteck unten links wurde zu einem Drittel an der langen Seite einmal rechts gefaltet. Das größere Rechtecksteil links davon wurde in der Mitte der kurzen Seite gefaltet, sodass zwei schmalere Rechtecke entstehen. Der oberste Anteil davon wurde markiert. Das Rechteck unten rechts wurde einmal zu einem Drittel an der kurzen Seite gefaltet. Der größere Teil unterhalb wurde von der linken Ecke zur rechten Ecke, die an dem zuvor gefalteten Drittel sich befindet, diagonal gefaltet, sodass zwei Dreiecke entstehen. Das rechte der beiden Dreiecke wurde markiert.
Abbildung 18: Beispiele für Rechtecke mit ausschließlich senkrechten oder waagerechten Faltlinien (oben) und einer Kombination aus waagerechten, senkrechten und diagonalen Faltlinien (unten)

Durch das gemeinsame Nachdenken über weitere Darstellungsmöglichkeiten werden die Lernenden herausgefordert, eigene Ideen zu verbalisieren, mögliche Lösungswege zu beschreiben und ihre Vorgehensweisen und Anteildarstellungen zu begründen.

Mögliche Impulse:

  • Finde verschiedene Lösungen, bei denen alle Teile genau gleich aussehen. 
  • Welche Lösungen findest du, bei denen Teile die gleiche Form haben und unterschiedlich aussehen?
  • Wie könnte eine Lösung aussehen, bei der drei (vier, fünf, …, alle) gleich großen Teile unterschiedlich aussehen?
  • Gibt es mehr Lösungen mit drei oder mit fünf gleich großen Teilen? Begründe deine Vermutung. Finde Beispiele für deine Vermutung.
  • Warum sind die Teile deiner Faltung genau gleich groß?
  • Wie bist du beim Einzeichnen der Faltlinien vorgegangen?
  • Welche Tipps kannst du Lernenden geben, die keine Lösungen mehr finden?
  • Wie kannst du berechnen, an welchen Stellen du die Faltlinien anzeichnen musst? Wie kannst du überprüfen, ob deine Berechnungen richtig sind?

Erweiterung

Sortieren ungewöhnlicher Anteildarstellungen

„Findet Rechtecke, die einen gesuchten Anteil darstellen.“ 

Material: Tablet und Sortierdateien oder Materialsatz mit Sortiertafel

Die Lernenden sortieren in dieser Erweiterung analog zur Basisaktivität „Sortieren rechteckiger Anteildarstellungen“ digital pro Präsentationsfolie oder mit vorbereitetem Material insgesamt zwölf Rechteckabbildungen in zwei Spalten mit Überschriften für Anteile, eine Spalte mit derÜberschrift „nicht sicher“ und (digital) ein Feld „ein anderer Anteil“. Die Benennung des Feldes kann zum Anlass genommen werden zu besprechen, dass jeder Teil eines Ganzen ein Anteil ist, auch wenn dieser auf den Abbildungen nicht genau zu bestimmen ist.

Bild der digitalen Sortiertafel mit der Aufgabenstellung: „Finde Rechtecke: Das Rechteck stellt einen gesuchten Anteil dar.“ Darunter ein Feld mit „Rechteck-Bilder“. Rechts eine Tabelle zur Zuordnung mit drei Spalten. Erste Spalte: „ein Viertel“. 3 Karten wurden zugeordnet, mit jeweils einem Rechteck, das mit diagonalen, vertikalen und oder horizontalen Linien unterteilt wurde in vier Teile, wovon jeweils einer markiert ist. Zweite Spalte: „ein Sechstel“. 3 Karten wurden zugeordnet, mit jeweils einem Rechteck das mit diagonalen, vertikalen und oder horizontalen Linien unterteilt wurde in sechs Teile, wovon jeweils einer markiert ist. Dritte Spalte: „nicht sicher“. 4 Karten wurden zugeordnet, mit jeweils einem Rechteck das mit diagonalen, vertikalen und oder horizontalen Linien unterteilt wurde in unterschiedlich viele Teile, wovon jeweils einer markiert ist. Unten links ein Ordner mit Beschriftung „ein anderer Anteil“, darin sind bereits einige Karten einsortiert
Abbildung 19: Lernendenbeispiel für das Sortieren ungewöhnlicher Anteile mit der Sortiertafel

Die Herausforderung besteht darin, Abbildungen auch dann als gesuchte Anteildarstellungen zu erkennen, wenn das Ganze in verschieden große Teile oder in mehr oder weniger Teile geteilt wurde, als der gesuchte Anteil nahelegt. Die Lernenden müssen dazu Beziehungen zwischen dem gefärbten Teil und dem Ganzen herstellen, mit denen sie begründen können, warum das Rechteck einen gesuchten Anteil darstellt oder nicht.

Ebenso wie in der Basisaktivität ist es auch hier wichtig, dass sie ihre Sortierentscheidungen den anderen Gruppenmitgliedern gegenüber begründen und diese dann die Begründungen kritisch hinterfragen und gegebenenfalls widerlegen. Erste Ideen für Begründungen können beschrieben und durch Messen der entsprechenden Seiten „bewiesen“ oder verworfen werden.

Wenn mehrere Gruppen diese Erweiterungsaufgabe bearbeiten, sollten die Folien bzw. die Sortiertafeln mit den sortierten Abbildungen in einer Reflexionsphase am Smartboard oder in einem Museumsgang präsentiert werden. Begründungen für die Sortierentscheidungen können dann beispielsweise wie folgt lauten:

„Das rote Dreieck ist ein Sechstel, denn die kurze Seite ist halb so lang wie die beiden rechts davon liegenden kurzen Seiten zusammen.“

„Das braune Dreieck stellt ein Viertel des Ganzen dar. Wenn ich die beiden kleineren Dreiecke zusammenlege, sind sie genauso groß wie das braune Dreieck. Und die drei Dreiecke zusammen sind so groß, wie die Hälfte des ganzen Rechtecks.“

„Das große hellblaue Rechteck stellt ein Drittel des Ganzen dar und damit einen anderen Anteil. Wenn ich drei von den hellblauen Rechtecken übereinanderlege, sind die zusammen so groß wie das ganze Rechteck. Das habe ich am Bildschirm gemessen und ausgerechnet.“

Erweiterung

Herstellen verschiedener Anteildarstellungen

„Wählt gemeinsam einen neuen Anteil aus. Stellt diesen Anteil mit einem Kreis, einem Rechteck, einem Streifen und einem Quadrat dar.“ 

Material: Karopapier, Stifte, Lineal, evtl. Zirkel 

Die Lernenden erstellen in dieser Erweiterung für Anteile ihrer Wahl eigene Kreis-, Rechteck-, Streifen- und Quadratdarstellungen.

Sie einigen sich in ihrer Gruppe auf einen Anteil und erstellen arbeitsteilig die entsprechenden Darstellungen. Dabei erklären und begründen sie gegenüber den anderen Gruppenmitgliedern ihre Überlegungen und Darstellungen, erhalten Rückmeldungen und überarbeiten bei Bedarf ihre Darstellungen.

Karopapier kann bei der Erstellung der Rechteck-, Streifen- und Quadratdarstellungen helfen. In der Regel sollten die Lernenden vor dem Zeichnen überlegen, welche Maße ihre Darstellung bekommen soll, damit die Kästchen eine Unterstützung darstellen und keine Hürde.

Fünf Fotos von gezeichneten Eigenproduktionen auf Kästchenpapier. Foto 1: Kreis, der in sechs gleich große Teile unterteilt. Ein Anteil ist markiert. Foto 2: Quadrat, das in sechs gleich große Teile unterteilt ist. Ein Anteil ist markiert. Foto 3: Rechteck, mit neun Kästchen als lange Seite und sechs Kästchen als kurze Seite. Die Mitte der kurzen Seite ist mit einer horizontalen Linie gezogen. Nach jeweils drei Kästchen an der langen Seite ist eine vertikale Linie gezogen. Es sind so sechs kleine Quadrate mit der Seitenlänge von drei Kästchen erkennbar. Ein kleines Quadrat ist markiert. Foto 4: Ein langes, schmales Rechteck, dessen lange Seite 18 Kästchen lang ist. Die kurze ist ein Kästchen lang. Dieses Rechteck, auch Bruchstreifen genannt, ist in sechs Teile unterteilt. Nach jeweils drei Kästchen ist dafür an der langen Seite jeweils eine vertikale Linie gezogen. Sechs kleine Rechtecke mit drei Kästchen Länge als lange Seite und einem Kästchen Länge als kurze Seite. Ein Anteil ist markiert
Abbildung 20: Beispiele für Eigenproduktionen zum Anteil ein Sechstel

Die Darstellung in einem Kreismodell kann mit den Mitteln, die ihnen zur Verfügung stehen, nur ungefähr die exakten Anteile zeigen. Für das Ziel der Einheit ist das genaue Zeichnen von untergeordneter Bedeutung, sollte aber mit den Lernenden besprochen werden.

Möglichkeiten individueller Unterstützung

Vorgeben von Faltlinien

 

Das Falten kann für die Lernenden durch Markierungen erleichtert werden. Dabei können entweder kleine Markierungen an den Seiten des Papiers vorgegeben werden oder aber durchgängige Faltlinien.

2 Fotos von Lernendenergebnissen. Foto 1: Ein Rechteck im Querformat mit jeweils drei Hilfsmarkierungen im gleichen Abstand an der langen und jeweils einer Hilfsmarkierung in der Mitte der kurzen Seiten. Alle drei Hilfsmarkierungen der langen Seite und die jeweils mittigen der kurzen Seite wurden verwendet. Dadurch entstehen acht Teile. Foto 2: Ein Quadrat mit jeweils 3 Hilfsmarkierungen im gleichen Abstand an zwei gegenüberliegenden Seiten, an den anderen beiden Seiten ist jeweils nur eine mittige Hilfsmarkierung. Alle drei Hilfsmarkierungen, sowie die beiden mittigen wurden verwendet. Dadurch entstehen acht Teile.
Abbildung 21: Rechtecke mit Markierungen für Faltlinien (links) und gestrichelten Faltlinien (rechts)

Weiterführend können Markierungen bzw. Linien für diagonale Faltungen eingezeichnet werden. Die Lernenden sollen die Markierungen und Faltlinien zunehmend selbständig einzeichnen.

Möglichkeiten individueller Unterstützung

Verwenden einer Faltanleitung

 

Eine weitere Möglichkeit zur individuellen Unterstützung ist eine Faltanleitung. Hier wird das genaue Falten Schritt für Schritt erklärt. Es besteht auch die Möglichkeit, dass die Lernenden selbst eine Faltanleitung erarbeiten.

Das könnte zum Beispiel folgendermaßen aussehen:

  1. Überlege dir, welche beiden Seiten des Papiers aufeinanderliegen sollen. Lege eine Seite des Papiers an eine gerade, aufrechte Fläche (z. B. einer Wand, eines Schranks oder eines Fensterrahmens), die nicht verrutschen kann.
    Foto: Im Querformat liegendes orangenes rechteckiges Blatt, das mit seiner kurzen Seite genau an der Kante eines Tisches liegt.
    Abbildung 22: Faltanleitung Schritt 1
  2. Lege nun die gegenüberliegende Seite des Papiers auf die Seite an der Wand, sodass beide Seiten die Wand berühren.
    2 Fotos: Foto links: Hand legt die linke kurze Seite zur rechten kurzen Seite des im Querformat liegenden orangenes rechteckigen Blattes aus Abbildung 23. Foto rechts: Hand führt die beiden kurzen Seiten zusammen, sie liegen exakt übereinander.
    Abbildung 23: Faltanleitung Schritt 2
  3. Halte beide Seiten mit den Fingern einer Hand so fest, dass sie an der Fläche liegen und sich nicht verschieben lassen. Drücke dann mit einem Finger der anderen Hand auf die Faltlinie und falte das Papier.
    2 Fotos: Fortführung Abbildung 24 Foto links: Linke Hand fixiert die exakt übereinandergelegten Kanten, rechte Hand streicht sie glatt. Foto rechts: Das Blatt liegt exakt gefaltet auf dem Tisch.
    Abbildung 24: Faltanleitung Schritt 3
  4. Du kannst so auch die Hälfte von einer Hälfte falten. Lege dazu die mittlere Faltlinie an die Wand und führe die gleichen Schritte durch.
    3 Fotos: Fortführung der Abbildung 25 Foto 1: das zuvor gefaltete Blatt wird um 180 Grad gedreht, sodass die geschlossene Seite nach rechts zur Tischkante zeigt. Es wird aufgeklappt. Foto 2: der linke Teil des Blattes wird mit der linken Hand zur zuvor entstandenen Mitte geführt. Die rechte Hand hält den oberen Teil des Blattes fest. Foto 3: die untere Kante liegt nun exakt auf der zuvor entstandenen Mitte und wird mit der linken Hand fixiert. Die rechte Hand fixiert weiterhin den oberen Teil.
    Abbildung 25: Schritt 4

Möglichkeiten individueller Unterstützung

Für das Beschreiben und Erklären Sprachmuster verwenden und einen Sprachspeicher anlegen

 

Das Beschreiben der Entdeckungen und Vorgehensweisen kann durch das Anlegen eines Sprachspeichers und die Vorgabe von Sprachmustern und Satzbausteinen unterstützt werden (vgl. hierzu auch Förderschwerpunkt Sprache: Unterricht).

Zentrale Mathewörter

Plakat Links: Überschrift: „Zentrale Mathewörter“: darunter: „das Ganze“, „der Teil“, „die gleich großen Teile“, „der Anteil“, „das Halbe“, „die Hälfte“, „das Drittel“, „das Viertel“, „das Fünftel“, „das Sechstel“, „das Siebtel“, „das Achtel“, „das Neuntel“, „das Zehntel“, „falten“, „teilen“, „zerlegen“. Rechts: Abbildung von einem im Querformat liegenden Rechteck das in 3 Mal 2 Teile geteilt ist. Darunter: „Das Ganze (gelb markiert) ist in sechs gleich große Teile geteilt. Der blau gefärbte Teil stellt ein Sechstel des Ganzen dar. Ein Sechstel ist ein Anteil.“ Darunter abgebildet ist ein Rechteck, ein Quadrat, ein Kreis und ein Bruchstreifen, diese sind auch jeweils darunter so bezeichnet.
 

Mögliche Sprachmuster/Satzbausteine

  • Das Ganze hat (z. B. drei, vier) Teile. Ein Teil stellt deshalb ein (z. B. Drittel, Viertel) dar.
  • Dieser Teil ist größer/kleiner als die anderen Teile. Deshalb ist das Ganze nicht in (z. B. drei, vier) gleich große Teile geteilt.
  • Ich habe das Rechteck an dieser Stelle gefaltet, weil …
  • In dieser Darstellung ist auch ein (z. B. Drittel, Viertel) gefärbt, weil …
Kurz-URL: https://pikas-mi.dzlm.de/node/816

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