Teil-Ganzes-Anteil

Aufgabenstellung Kompakt

Basisaufgabe

„Falte rechteckige Blätter in gleich große Teile und färbe Teile.“

Material: rechteckige Blätter, Stifte, Wortkarten

Ziel dieser Basisaufgabenstellung ist es, bei den Lernenden den Aufbau der Grundvorstellung des Anteils als Verhältnis eines Teils zu einem Ganzen zu erweitern und auch Anteile darzustellen, bei denen es sich nicht wie in der Aufgabenstellung kompakt Teilen in gleich große Teile um Stammbrüche handelt. Diese Grundvorstellung ist die Grundlage für ein Operationsverständnis und das verständnisbasierte Rechnen mit Brüchen.

Die Lernenden sollten vor Bearbeitung der Aufgabenstellungen bereits Erfahrungen mit dem Falten von rechteckigen Papierblättern in gleich große Teile, dem Einfärben von Stammbruch-Teilen (ein Teil von x Teilen) und dem Benennen dieser sogenannten Stammbrüche (ein Halbes, ein Viertel, ein Achtel etc.) gemacht haben. Beispiele für die verständnisorientierte Erarbeitung dieser Inhalte finden sich in der Aufgabenstellung kompakt Teilen in gleich große Teile.

Die Lernenden erhalten (z. B. fünf) rechteckige Blätter gleicher Größe (z. B. DIN A6). Rechteckige Blätter ermöglichen, auch wenn das Falten von Diagonalen schwieriger ist, mehr unterschiedlich aussehende Faltungen als quadratische Blätter, da die vertikalen und horizontalen Halbierungen (s. Abb. 2) zu zwei nichtkongruenten Teilungen führen, während die Ergebnisse entsprechender Halbierungen von Quadraten kongruent sind. Gleiches gilt für Viertel, Achtel etc.

Abb. 2: Faltergebnisse mit rechteckigen und quadratischen Blättern im Vergleich

Die Lernenden falten die Blätter so, dass sie jedes in gleich große Teile zerlegen. Sie entscheiden eigenständig, in wie viele gleich große Teile sie falten und ob die Anzahl und damit die Größe der Teile auf allen Blättern gleich, teilweise gleich oder unterschiedlich sein soll.

Anschließend färben sie eine selbstgewählte Anzahl der Teile eines jeden Faltblattes in derselben Farbe, wobei die gefärbten Teile nicht benachbart sein müssen und keine identisch gefärbten Blätter entstehen dürfen. Eine Färbung der gleichen Felder mit unterschiedlichen Farben ist aus mathematischer Sicht als identisch anzusehen. Die Lehrkraft sollte darauf achten (beispielsweise durch entsprechende Arbeitsanweisungen, die Nutzung eines Timers oder eine individuelle Ansprache), dass die Lernenden nicht zu viel Zeit für das Färben der Teile verwenden, damit genügend Zeit für mathematische Lerngelegenheiten zu Verfügung steht. 

Lernende, die ihre Faltblätter gefärbt haben, bilden Zweiergruppen und bearbeiten gemeinsam den folgenden Arbeitsauftrag:

„Sortiert eure Blätter. Besprecht: Wie habt ihr sortiert? Schreibt passende Überschriften für eure Sortierungen auf einen Klebezettel.“

In einer gemeinsamen Reflexionsphase präsentieren die Lernenden ihre Sortierungen, ohne jedoch die Kriterien für diese zu nennen. Diese Präsentation kann nacheinander im Plenum erfolgen oder gleichzeitig, beispielsweise in Form eines Museumsganges.

Die anderen Mitglieder der Lerngruppe stellen begründete Vermutungen zu den Sortierkriterien an und vergleichen diese mit den Kriterien, die von den Präsentierenden genannt werden. Gemeinsam werden dann alle Kriterien auf ihre Passung mit der entsprechenden Sortierung hin überprüft.

Anschließend werden gemeinsam Begriffe gesucht, mit denen die einzelnen Rechteckabbildungen möglichst genau beschrieben werden können. Sollten die Lernenden nicht bereits bei ihren Benennungen der gefärbten Teile den Bezug zu den gefärbten Stammbrüchen ein Halbes, ein Drittel, ein Viertel etc. hergestellt haben, kann die Lehrkraft auf diese Zusammenhänge aufmerksam machen und entsprechende Äußerungen der Lernenden aufgreifen, um die mathematisch korrekte Benennung der gefärbten Faltungen zu besprechen („Wenn das Blatt in acht gleich große Teile gefaltet ist und drei Teile gefärbt sind, dann nennen wir in der Mathematik die gefärbten Teile des Ganzen drei Achtel. In dieser Gruppe sind alle Rechtecke mit drei gefärbten Teilen, also drei Viertel, drei Achtel und drei Sechzehntel.“).

Für die weitere fachliche Kommunikation der Lernenden ist es von großer Bedeutung, dass sie den Begriff der Anteil als Verhältnis des Teils zu einem Ganzen („3 von 8 Teilen sind gefärbt.“) kennen und nutzen. Die Einführung des Begriffs kann an dieser Stelle in Verbindung mit der Einführung der Bruchschreibweise als Notationsform des Anteils (z.B. \({3\over 8}\)) erfolgen.

Anschließend können die Lernenden die Faltblätter nutzen, um Rätsel zu formulieren (z. B. „Mein Blatt hat 8 gleich große Teile. 3 Teile davon sind gefärbt. Welches Blatt könnte es sein? Welcher Anteil ist auf der Abbildung dargestellt?“) und darüber den Gebrauch der Anteilbezeichnungen einzuüben.

Weiterführende Impulse könnten folgende sein:

• Vergleicht die Faltblätter mit den Anteilen zwei Viertel, drei Sechstel und vier Achtel. Was fällt euch auf? Findet Anteile, bei denen ein insgesamt gleich großer Teil des Ganzen gefärbt ist.
• Ordnet alle Faltblätter mit 8 gleich großen Teilen nach der Anzahl der gefärbten Teile. Was fällt euch auf?  Ergänzt fehlende Faltblätter.
• Stellt möglichst viele verschiedene Faltblätter mit dem her, bei denen 6 von 8 Teilen gefärbt sind. Was fällt euch auf?
• Leonida sagt: "Drei Viertel eines DIN A6-Faltblattes und drei Viertel eines DIN A5-Faltblattes stellen den gleichen Anteil dar. Ich schreibe immer \({3\over 4}\).“ Was meinst du dazu? Begründe deine Aussage.

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Vertiefung

Darstellen von Anteilen in der Bruchschreibweise

Material: Faltblätter aus der Basisaufgabe, Stifte, ggf. Sprachspeicher

„Schreibt den passenden Bruch auf die Rückseite des Blattes. Sortiert die Anteildarstellungen nach unterschiedlichen Merkmalen.“

Mit dieser Aufgabe vertiefen die Lernenden ihre Grundvorstellungen zu Anteilen, indem sie bildliche Darstellungen von Anteilen in passende symbolisch notierte Brüche übertragen und beide Darstellungen miteinander vergleichen und so vernetzen.

Zu Beginn dieser Vertiefung führt die Lehrkraft die Begriffe der Bruch, der Zähler, der Bruchstrich und der Nenner (s. auch Abb. 6 Sprachspeicherplakat) ein und erklärt sie dabei. Die Begriffe und ihre Erklärungen können besprochen, gemeinsam in verständlichen Formulierungen und mit Beispielen auf einem Merk- bzw. Sprachspeicherplakat (s. Material Sprachspeicher) festgehalten, im Klassenraum aufgehängt und so allen Lernenden bei Bedarf als Sprachunterstützung zur Verfügung gestellt werden.

Für alle nachfolgenden Partner-, Gruppen- und Plenumsgespräche ist es von Bedeutung, dass die Begriffe möglichst schnell und nachhaltig in den aktiven Sprachgebrauch der Lernenden übergehen. Das kann die Lehrkraft beispielsweise dadurch fördern, dass sie die Lernenden die Begriffe wiederholt erklären und in Sätze einbinden lässt, ihren Gebrauch wann immer möglich einfordert und die Begriffe auch selbst benutzt.

Anschließend übertragen die Lernenden die Anteilabbildungen der in der Basisaufgabe hergestellten Faltblätter in die Bruchschreibweise und schreiben die passenden Brüche auf die Rückseiten der Blätter. Sie kontrollieren ihre Notationen gegenseitig und begründen, warum der Bruch zum Anteil passt bzw. nicht passt.

Die beschrifteten Faltblätter werden dann in Gruppen mit den sichtbaren gefärbten Faltungen nach vorgegebenen Merkmalen sortiert. Eine Erfolgskontrolle kann selbstständig durch das Umdrehen der Faltblätter und das Vergleichen der Brüche erfolgen.

Sortieraufträge und damit verbundene Lernchancen können beispielsweise folgende sein:

• Sortiert die Blätter nach gleichen Zählern, also nach der Anzahl der gefärbten Teile. Lernchance: Das Verhältnis der Anzahl an gefärbten Teilen zur Gesamtzahl der Teile wird kleiner, wenn die Anzahl der gefärbten Teile gleich bleibt und die Anzahl aller Teile größer wird (z. B. \({3 \over 4}\)<\({3 \over 8}\)<\({3 \over 16}\)).
• Sortiert die Blätter nach gleicher Gesamtfläche der gefärbten Teile. Lernchance: Die gleich großen gefärbten Flächen können durch unterschiedliche Brüche dargestellt werden. Wichtig: An diese Erkenntnis kann bei der späteren Einführung des Kürzens und Erweiterns angeknüpft werden.
• Sortiert die Blätter nach gleichen Nennern, also nach der Anzahl der gefalteten Teile. Lernchance: Die Größe der gefärbten Fläche hängt von der Größe des Zählers ab. Wichtig: Die Begriffe der gleichnamige Bruch und der ungleichnamige Bruch können eingeführt und auf dem Sprachspeicherplakat ergänzt werden. 

 

Abbildung 7, 8, 9: Sortieraufträge

Mit diesen Sortierungen können die Lernenden an Erkenntnisse aus der Bearbeitung der Basisaufgabe anknüpfen, indem die jeweiligen Entdeckungen im gemeinsamen Austausch benannt und besprochen werden.

Weitere Gesprächsanlässe können geschaffen werden, indem die unterschiedlichen Anteildarstellungen erst mit sichtbaren Färbungen und dann mit sichtbaren Brüchen der Größe nach geordnet und immer wieder (auch unter Nennung der eingeführten Begriffe) beschrieben werden. Es können erste Anteilserien (s. auch Reduktion Darstellen von Anteilen in der Bruchschreibweise) gelegt werden, mit denen der Zusammenhang zwischen den Veränderungen des Zählers und der Zu- bzw. Abnahme der gefärbten Flächen anschaulich darstellbar ist (z. B. \({1\over 4}\)<\({2\over 4}\)<\({3\over 4}\)<\({4\over 4}\)).

Nach jeder Sortierung können Fehlersuchübungen durchgeführt werden. Dazu begibt sich ein Mitglied der Gruppe außer Sichtweite der Sortierung und die anderen verändern die Sortierung, indem sie ein Faltblatt umlegen bzw. zwei Faltblätter tauschen. Das zurückgekehrte Gruppenmitglied korrigiert die Veränderung, begründet die Korrektur und nutzt dabei die eingeführten Fachbegriffe. 

Die Faltblätter können auch genutzt werden, um explizit den Gebrauch der Fachwörter einzuüben. So können die Lernenden sich beispielsweise in Zweiergruppen gegenseitig ihre Blätter zeigen und den Bruch nennen, der auf der verdeckten Rückseite steht oder beschreiben, wie viele Teile das Ganze hat und wie viele davon gefärbt sind, wenn ihnen der Bruch gezeigt wird.

„Das Ganze ist in 8 gleich große Teile gefaltet. Von den 8 Teilen hast du 5 gefärbt. Auf der Rückseite steht deshalb der Bruch \({5\over 8}\). Der Zähler ist 5 und der Nenner ist 8.“

„5 von 8 gleich großen Teilen sind gefärbt. Der Anteil beträgt fünf Achtel und der Bruch wird so geschrieben:\({5\over 8}\).“

„Der Bruch heißt \({5\over 8}\). Du hast dein Blatt in 8 gleich große Teile gefaltet und 5 von diesen Teilen gefärbt. Der Zähler ist 5 und der Nenner ist 8.“

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Vertiefung

Darstellen von Anteilen in Beschreibungen

Material: Faltblätter aus der Basisaufgabe, linierte DIN A6-Blätter, Stifte

„Schreibt zu jedem Anteil eine passende Beschreibung auf. Mischt alle Blätter. Ordnet die passenden Anteildarstellungen einander zu. Beschreibt die Brüche in Mathesprache.“

Mit dieser Aufgabe vertiefen die Lernenden ihre Grundvorstellung zu Anteilen, indem sie die bildlichen und symbolischen Anteildarstellungen in sprachliche übertragen und dadurch vernetzen. Durch das Beschreiben der Brüche üben sie zudem den Gebrauch der eingeführten Fachbegriffe ein.

Zu Beginn werden Formulierungen gesammelt, mit denen die Lernenden das Verhältnis des Teils zum Ganzem korrekt beschreiben können. Diese Formulierungen können sprachlich unterschiedlich anspruchsvoll sein und von „Das Ganze hat 8 gleich große Teile. Von diesen 8 Teilen sind 5 gefärbt.“ bis zu „Von den 8 gleich großen Teilen des Ganzen sind 5 gefärbt.“ reichen. Die Ergebnisse werden so gesammelt, dass sie in der anschließenden Arbeitsphase als Beispiele zur Verfügung stehen.

In der anschließenden Arbeitsphase finden sich die Lernenden in Kleingruppen zusammen und schreiben unter Nutzung der gesammelten Formulierungen zu ihren Faltblättern aus der Basisaufgabe Beschreibungen der Faltungen auf linierte DIN A5-Blätter.

Die Faltblätter aus der Basisaufgabe und die Blätter mit den Beschreibungen können dann für unterschiedliche Zuordnungsübungen genutzt werden:

• Die Beschreibungen und die Faltungen sind sichtbar und werden einander zugeordnet, der Bruch genannt und mit den eingeführten Begriffen (z. B. „Im Zähler steht eine Fünf, im Nenner eine Acht. Der Bruch heißt fünf Achtel“) beschrieben. Die Beschreibung wird durch das Umdrehen des entsprechenden Faltblattes überprüft.

• Die Faltungen oder Brüche sind sichtbar, die Beschreibungen werden vorgelesen und den Faltungen bzw. Brüchen passend zugeordnet.

• Die Faltungen oder die auf der Rückseite notierten Brüche und die Beschreibungen sind sichtbar und werden einander zugeordnet, alle Beschreibungen werden dann umgedreht und anschließend passend formuliert und durch Umdrehen überprüft.

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Vertiefung

Darstellen von Anteilen mit quadratischen Blättern

Material: quadratische Blätter (z. B. 10,5cm x 10,5cm), Stifte

„Falte und färbe Blätter so, dass sie zu deinen rechteckigen Faltungen passen. Schreibe den passenden Bruch auf ein zweites Blatt.“

Mit dieser Aufgabe vertiefen die Lernenden ihre Grundvorstellung zu Anteilen, indem sie die in der Basisaufgabe und der Vertiefung Darstellen von Anteilen in der Bruchschreibweise erworbenen Lerninhalte auf das Falten von Quadraten übertragen.

Zu Beginn erhalten die Lernenden beispielsweise in Zweiergruppen ihre Rechteckfaltungen aus der Basisaufgabe und zwanzig quadratische Blätter. Sie falten und beschriften die quadratischen Blätter entsprechend des o. g. Arbeitsauftrags. Zu jeder Rechteckfaltung und -färbung der Basisaufgabe soll nun eine passende Faltung und Färbung mit einem quadratischen Blatt erfolgen. Gegenseitig werden die Faltungen und ihre Passungen kontrolliert und gegebenenfalls korrigiert.

Anschließend finden sich mehrere Zweierteams zusammen und sortieren ihre quadratischen Faltblätter, analog zu der vorangegangenen Vertiefung „Darstellen von Anteilen in Bruchschreibweise“, nach den Kriterien „gleicher Zähler“, „gleicher Bruch“, „gleich große gefärbte Fläche“ und „gleicher Nenner“.

Jede Sortierung bietet nun durch den Vergleich der Faltblätter innerhalb einer Gruppe sowie der Gruppen untereinander (z. B. anhand von Merkmalen wie der Anzahl der gefärbten Teile, der Größe der Anteile) erneut vielfältige Gesprächsanlässe, die zur Vertiefung des Anteilverständnisses beitragen.

Ebenfalls möglich ist es, die Zuordnungsaufgaben aus der Vertiefung „Darstellen von Anteilen in Beschreibungen“ mit den quadratischen anstelle der rechteckigen Faltblätter durchzuführen oder die Zuordnungen auf drei (z. B. rechteckiges Faltblatt, quadratisches Faltblatt, Bruch) bzw. vier (alle) Darstellungen zu erweitern.

Mit den quadratischen Faltblättern und den Brüchen können zudem Spiele wie Memory gespielt werden, die durch eine geringfügige Abwandlung (z. B. unter Einbeziehung der Beschreibungen und der Zusatzregel „Gesucht werden die Darstellungen des Anteils, dessen Beschreibung oben auf dem Stapel liegt.“) auch einen Darstellungswechsel Sprache-Symbol bzw. Sprache-Bild einüben.

Werden unterschiedlich große quadratische Blätter gefaltet und gefärbt, kann die Lehrkraft zudem die Bedeutung des Anteils als Verhältnis des Teils zum Ganzen thematisieren. So können die Lernende zum Beispiel erkennen, dass \({5\over 8}\) eines kleineren Blattes und \({5\over 8}\) eines größeren Blattes den gleichen Anteil darstellen und gleich große gefärbte Flächen auf unterschiedlich großen Faltblättern unterschiedliche Brüche darstellen können.

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Vertiefung

Zeichnen und Beschreiben von Anteilen

Material: Blätter mit leeren Formen, linierte Blätter, Stifte, Lineal, Tablet

„Wählt gemeinsam Brüche aus, die ihr darstellen wollt. Zeichnet passende Bilder zu diesen Anteilen in die leeren Formen und fotografiert die Zeichnungen mit einem Tablet. Stellt ein Album mit vielen verschiedenen Bruch-Darstellungen der Anteile zusammen.“

Mit dieser Aufgabe vertiefen die Lernenden ihre Grundvorstellung zu Anteilen, indem sie die in der Basisaufgabe und den Vertiefungen erworbenen Kompetenzen auf die Darstellung von Anteilen mit Kreisen und Bruchstreifen übertragen und alle Darstellungsformen miteinander vernetzen.

Die Lernenden finden sich in Gruppen zusammen und erhalten Blätter mit leeren Rechtecken, Quadraten, Bruchstreifen und Kreisen, an deren Seiten bzw. Kreislinien Markierungen angebracht sind, die ein Einzeichnen der entsprechenden Teilungslinien erleichtern (s. Material KV Leere Blätter mit Markierungen). Zudem erhalten sie linierte Blätter für die sprachliche Darstellung sowie ein Tablet.

Gemeinsam wählen sie Anteile aus und besprechen, wer den ausgewählten Anteil in welcher Form darstellt. Dabei ist es den Lernenden freigestellt, ob sie die Anteildarstellungen aus der Basisaufgabe und den Vertiefungen nun zeichnerisch auf die leeren Formen übertragen oder mit den leeren Formen Darstellungen für weitere Anteile zeichnen und schreiben. In beiden Fällen nutzen sie die eingeführte Fachsprache und unterstützen sich gegenseitig beim Anfertigen der Anteildarstellungen. Alle Lernenden sollten im Verlauf der Arbeitsphase mindestens eine Anteildarstellung in Form eines Rechtecks, eines Quadrates, eines Kreises, eines Bruchstreifens und einer Beschreibung anfertigen.

Die entstandenen Abbildungen werden fotografiert und mit dem dazugehörigen Bruch und der passenden Beschreibung zu einem Kapitel des gemeinsamen Bruchalbums zusammengefügt. Für die Erstellung der Bruchalben können sowohl Apps wie BookCreator als auch Präsentationssoftware oder Textverarbeitungsprogramme wie PowerPoint, Keynote, Word oder Pages oder genutzt werden. In den meisten dieser Programme können Lernende, für die das Verschriftlichen einer Anteilbeschreibung schwierig ist, diese auch mündlich formulieren und als Sprachaufnahme im Bruchalbum festhalten.

Gemeinsam werden die entstandenen Albumkapitel auf ihre Passung von Anteil, Bruch, Beschreibung und Abbildungen überprüft und dann in einer abschließenden Reflexionsphase den anderen Lernenden präsentiert. Im Rahmen der Präsentation kann die Lehrkraft beispielsweise durch folgende Fragestellungen eine vertiefende Auseinandersetzung mit den Anteildarstellungen initiieren:

• Vergleiche die verschiedenen Darstellungen eines Anteils miteinander. Was ist gleich? Was ist unterschiedlich?
• Welcher Anteil ist in diesem Kapitel des Bruchalbums dargestellt? Woran hast du das erkannt?
• In welcher Darstellung kannst du den Anteil am einfachsten erkennen? Begründe deine Aussage.
• Wie bist du beim Zeichnen der Anteile vorgegangen? Welche Informationen aus den Beschreibungen und Brüchen haben dir geholfen?
• Woran habt ihr erkannt, welche Darstellungen zusammengehören?
• Wo findet ihr die unterschiedlichen Darstellungen in eurem Alltag?

Zu einem späteren Zeitpunkt können die einzelnen Kapitel der Bruchalben beispielsweise durch entsprechende Beispiele aus der Umwelt der Lernenden, Rechengeschichten sowie Darstellungen von Dezimalbrüchen und Prozentzahlen und das ganze Album durch neue Kapitel, beispielsweise zu Anteildarstellungen mehrerer Ganzer, ergänzt werden. Diese Beispiele können fotografiert, aufgeschrieben, eingefügt oder aufgesprochen und so an die individuellen Voraussetzungen der Lernenden angepasst werden.

Wenn der Einsatz von Tablets und die Arbeit mit einer App nicht möglich oder gewünscht sein sollten, können alle Darstellungen bis auf das Aufsprechen von Beschreibungen auch analog angefertigt und zu einem Bruchalbum zusammengefasst werden.

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Reduktion

Darstellen von Anteilen in der Bruchschreibweise

Material: Anteilserien, Anteilkarten, Stifte

„Ordne die Anteilkarte der passenden Serie zu. Schreibe den passenden Bruch auf die rechte Seite der Karte.“

Die Lehrkraft kann die Anforderungen der Vertiefung Darstellen von Anteilen in der Bruchschreibweise reduzieren, indem sie sie durch Anteilserien und -karten (s. Material Anteilserien und -karten) bei der Übertragung der Anteildarstellung in die Bruchschreibweise unterstützt. Die Anteilkarten können Lernenden ebenfalls als Unterstützung bei einem weiterführenden Impuls der Basisaufgabe dienen, bei dem Faltungen mit gleicher Anzahl an Teilen geordnet werden sollen.

Nach der Einführung der mathematischen Begriffe erhalten und besprechen die Lernenden einen vereinfachten Sprachspeicher (s. Material Sprachspeicher, reduziert), auf den sie jederzeit zurückgreifen können, wenn sie Brüche beschreiben.

Das Material zu dieser Reduktionsaufgabe kann in zwei unterschiedlichen Versionen je nach Unterstützungsbedarf der Lernenden eingesetzt werden:

• Version A besteht aus zwölf Anteilserien mit unterschiedlichen Abbildungen der Anteile Halbe (3), Viertel (4) und Achtel (5) und insgesamt 27 Anteilkarten. In den einzelnen Serien werden die Anzahlen der gefärbten Teile sukzessive so erhöht, dass sich die neu gefärbten Teile regelhaft (von links nach rechts, von oben nach unten, im Uhrzeigersinn) an bereits gefärbte anschließen.

• Die neun Anteilkarten der Version A1 bilden Anteile ab, die genau denen der jeweiligen Serien entsprechen. Die neun Karten der Version A2 zeigen Anteile, die in der gleichen Farbe wie die entsprechenden Serien gefärbt sind, sich aber in der Anordnung der gefärbten Teile unterscheiden. Die neun Karten der Version A3 zeigen ungefärbte Teilungen, die von den Lernenden zu Anteilen gefärbt werden können.

• Die Version B unterscheidet sich von der Version A durch die Färbung der Anteilserien und Anteile.
  In den einzelnen Serien werden die Anzahlen der gefärbten Teile ebenfalls sukzessive erhöht, jedoch ohne dass die zunehmende Färbung regelhaft erfolgt.

• Die neun Anteilkarten der Version B1 bilden Anteile ab, die in der Anordnung der gefärbten Teile den jeweiligen Serien entsprechen, sich aber in den Farben unterscheiden. Die neun Karten der Version B2 zeigen Anteile, die sich von denen der entsprechenden Serien sowohl in der Farbe als auch in der Anordnung der gefärbten Teile unterscheiden. Die neun Karten der Version B3 sind leer und damit identisch zu denen der Version A3.

In der Arbeitsphase beschreiben die Lernenden zu Beginn die fortlaufenden Veränderungen der Anteile und Brüche in ausgewählten Serien und erklären den Zusammenhang zwischen den Anteilabbildungen und den Brüchen.

Anschließend ordnen sie die Anteilkarten zuerst den Anteilen und Brüchen der entsprechenden Serien zu und beschriften sie dann mit den passenden Brüchen. Ebenfalls möglich, jedoch anspruchsvoller, ist ein Vorgehen in umgekehrter Reihenfolge. Dann werden die Karten zuerst mit dem passenden Bruch beschriftet und anschließend den entsprechenden Anteilserien und passenden Anteilen zugeordnet.

In beiden Fällen können die Lernenden ihre Zuordnungen und Beschriftungen mit der Gesamtzahl der Teile und der Anzahl der gefärbten Teile überprüfen und begründen.

Die Lernenden können auch die Faltblätter, die sie im Rahmen der Basisaufgabe gefaltet und gefärbt haben, den passenden Anteilabbildungen in den Serien zuordnen. Sie übertragen ihre Anteilabbildungen in die Bruchschreibweise und schreiben, analog zur entsprechenden Vertiefung, den passenden Bruch auf die Rückseite des Faltblattes.

Die um die Brüche ergänzten Faltblätter können dann in die Reflexionsphase der gesamten Lerngruppe eingebracht und sortiert werden.

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Reduktion

Darstellen von ausgewählten Anteilen mit quadratischen Blättern

Material: quadratische Blätter mit Markierungen, Stifte

„Falte Blätter so, dass du 4 (8) gleich große Teile erhältst. Färbe mehrere der Teile und schreibe den passenden Bruch auf die Rückseite des Blattes.“

Für leistungsschwächere Lernende kann die Lehrkraft die Aufgabenstellungen auf das Falten der Blätter in vier bzw. acht gleich große Teile reduzieren und Faltlinien durch entsprechende Markierungen auf den quadratischen Blättern (s. Material KV Leere Formen der Reduktion Zeichnen von Anteilen mit den Nennern Halbe, Viertel, und Achtel) vorgeben.

In der Arbeitsphase falten die Lernenden ihre Quadrate so, dass sie auf unterschiedliche Weise vier bzw. acht gleich große Teile erhalten und färben von diesen vier Vierteln (acht Achteln) unterschiedliche Anzahlen von Teilen auf unterschiedliche Weise. Um den Lernenden den Faltvorgang zu erleichtern, erhalten sie Quadrate, an deren Seiten Markierungen für unterschiedliche Faltungen vorgegeben sind (s. Abb. 26).

Die gefärbten Faltblätter können dann mit in die gemeinsamen Reflexionen der entsprechenden Vertiefung eingebracht werden. Gegebenenfalls können die Lernenden bereits vorab mit Unterstützung leistungsstärkerer Lernende oder Erwachsener ihre Faltblätter sortieren und Begründungen dazu formulieren, um diese dann in einer Reflexion zu präsentieren.

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Reduktion

Zeichnen von Anteilen mit den Nennern Halbe, Viertel und Achtel

Material: Blätter mit leeren Formen, Blätter mit Lückensätzen für die Beschreibungen, Stifte, Lineal, Tablet

In dieser Aufgabenstellung erfolgt die Reduktion der Vertiefung „Zeichnen und Beschreiben von Anteilen“ zum einen durch leere Formen für Anteile mit den Nennern Halbe, Viertel und Achtel, deren Markierungen genau eine Teilung in gleich große Teile nahelegen (s. Material KV Leere Formen). Zum anderen können die Lernenden Karten mit Sprechblasen (s. Material KV Sprechblasen) für ihre Beschreibungen der Anteile nutzen, in die sie die Zahlen für die Teile des Ganzen, die gefärbten Teile und den passenden Bruch eintragen.

Die Lehrkraft kann über die Reduktion der Anteile der Ganzen hinaus das Anforderungsniveau der Aufgabenstellungen auch durch die Auswahl der Formen (Rechtecke, Quadrate, Bruchstreifen und/oder Kreise), mit denen die Anteile dargestellt werden sollen, sowie die Anzahl an unterschiedlichen Teilungsmöglichkeiten an das Leistungsvermögen der Lernenden anpassen.

Analog zu den Tätigkeiten in der Vertiefung „Zeichnen und Beschreiben von Anteilen“ fotografieren die Lernenden die unterschiedlichen Darstellungen der gleichen Anteile und fügen sie in einem digitalen Bruchalbum zusammen. Die ausgefüllten Sprechblasenkarten können alternativ auch eingesprochen und als Sprachaufnahmen in die Albumseiten eingefügt werden. Die entstandenen Bruchalben bringen die Lernenden dann in die gemeinsame Reflexion mit ein.

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Erweiterung

Sortieren von Aussagen

Material: Aussagekarten, Sortiertafel, Zettel mit leeren Sprechblasen

„Überlegt gemeinsam, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Besprecht, wie ihr eure Entscheidung den anderen Schülerinnen und Schülern erklären könnt.“

Mit dieser Aufgabe erweitern die Lernenden ihre Grundvorstellung zu Anteilen von Ganzen. Sie stellen eine Beziehung zwischen einer Aussage und einer bildlichen Anteildarstellung her, überprüfen die Richtigkeit der Aussage und verändern die Aussage oder die Abbildung gegebenenfalls so, dass sie zueinander passen.

Die Lernenden erhalten in Gruppen Karten mit Aussagen von Kindern zu Anteilen, die in verschiedenen geometrischen Formen dargestellt sind (s. Material Aussagekarten und Sortiertafel). Sie überlegen gemeinsam, ob die Aussagen auf den Karten vollständig den Abbildungen entsprechen oder Teile der Aussagen bzw. die Abbildungen verändert werden müssen, damit beide Sätze der Aussagen und die Abbildungen zueinanderpassen. Die Lernenden achten dabei besonders auf die gleiche Größe und die Anzahl der Teile, in die das Ganze geteilt wurde, und auf die Entsprechung von Zähler bzw. gefärbten Teilen und Nenner bzw. Teilen des Ganzen und sortieren die Karten entsprechend in die Sortiertafel ein.

Die Lernenden erklären sich zuerst gegenseitig ihre Entscheidungen und überlegen dann, wie sie diese den anderen Mitgliedern der Lerngruppe in einer anschließenden Reflexionsphase begründen können. In der Reflexionsphase präsentieren die Gruppen ihre Entscheidung und Begründungen, die dann gemeinsam im Hinblick auf Verständlichkeit und Korrektheit besprochen werden.

In einer zweiten Arbeitsphase erhalten die Gruppen zu allen falschen Aussagen entsprechende Abbildungen mit leeren Sprechblasen und den Arbeitsauftrag, die Abbildungen so zu verändern, dass sie eine richtige Aussage in die Sprechblasen schreiben können. Auch hier müssen die Lernenden miteinander ins Gespräch kommen, um die Abbildung zu verändern und eine passende Formulierung zu finden, die sie dann in einer abschließenden Reflexionsphase den Mitschülerinnen und Mitschülern präsentieren und hinsichtlich der Passung der Formulierungen diskutieren können.

Fragestellungen für die Veränderung der Abbildung und die Formulierung einer richtigen Aussage könnten sein:

• Wie kannst du die Abbildung so verändern, dass der Kreis/das Quadrat/das Rechteck in gleich große Teile geteilt wird?
• Wie kannst du den gefärbten Teil beschreiben?
• Wie kannst du das Ganze beschreiben?
• Wie kannst du die Beziehung zwischen dem gefärbten Teil und dem Ganzen beschreiben?
• Welchen Anteil stellen die gefärbten Teile dann dar?

Mit den Blanko-Karten am Ende des Materials können Lehrkräfte eigene Karten erstellen, auf denen sie die Aussagen und die Abbildungen an das Lernniveau ihrer Lerngruppe anpassen. So können Aussagesätze im Hinblick auf den Satzbau variiert und die unzutreffenden Beschreibungen mehr oder weniger offensichtlich formuliert werden sowie Abbildungen unterschiedlich gut erkennbare „Fehler“ erhalten.

Mit den Blanko-Karten ist es ebenfalls möglich, dass Lernende Aussagen und Abbildungen als Eigenproduktionen anfertigen und von anderen Lernenden bearbeiten lassen.

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Erweiterung

Ordnen von Brüchen

Material: leere Quadratformen gleicher Größe, Lineal, Stifte

Die Lernenden untersuchen in dieser Erweiterung die Veränderungen der Größe von Anteilen in Abhängigkeit von den Veränderungen des Zählers (bei gleichbleibenden Nennern) und des Nenners (bei gleichbleibenden Zählern).

Sie erhalten zu Beginn folgenden Arbeitsauftrag:

„Aisha meint: ‚Wenn der Zähler größer wird und der Nenner gleich bleibt, wird der Anteil größer‘.

Dominik meint: ‚Nein, wenn der Zähler gleich bleibt und der Nenner größer wird, wird der Anteil kleiner.‘

Was meint ihr dazu? Begründet eure Antwort mit Hilfe des Materials.“

Die Lernenden erhalten mehrere leere Quadrate mit Markierungen (s. Material KV Quadrate mit Markierungen) und überlegen, wie sie diese nutzen wollen. Dabei ist es ihnen freigestellt, ob sie zuerst theoretisch die Korrektheit der Aussagen diskutieren und dann ihre Einschätzung mit den Quadraten begründen, oder zuerst die Anteile zeichnen und damit dann zu einer Einschätzung der beiden Aussagen kommen.

Wenn die Lernenden in ihrer Gruppe keinen erfolgversprechenden Ansatz finden, können in einer gemeinsamen Zwischenreflexion aller Gruppen Herangehensweisen und erste Ergebnisse ausgetauscht werden.

Ein möglicher Tipp der Lehrkraft könnte beispielsweise sein, den Zähler oder/und den Nenner der herzustellenden Anteile innerhalb der Gruppe festzulegen, um für jede Aussage mehr unterschiedliche Anteile und damit auch mehr Sortier- und Ordnungsmöglichkeiten zu erhalten.

Die Einschätzung und Begründungen der Lernenden werden dann in einer abschließenden Reflexion präsentiert und miteinander verglichen.

Eine weitere Auseinandersetzung mit den formulierten Beschreibungen kann beispielsweise durch folgende Aufgaben angeregt werden:

• Vergleicht die beiden Beschreibungen. Was fällt euch auf?
• Wie klein oder wie groß kann ein Zähler werden, wenn der Nenner gleich bleibt? Was bedeutet das für den Anteil? Überlegt und begründet eure Vermutung.
• Wie klein oder wie groß kann ein Nenner werden, wenn der Zähler gleich bleibt? Was bedeutet das für den Anteil? Überlegt und begründet eure Vermutung.

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Erweiterung

Finden gleich großer Brüche

Material: Faltblätter aus der Basisaufgabe, rechteckige Blätter gleicher Größe, Stifte

Die Lernenden nutzen in dieser Erweiterungsaufgabe die Faltblätter der Basisaufgabe, auf deren Rückseite sie im Rahmen der Vertiefung „Darstellen von Anteilen in der Bruchschreibweise“ die passenden Brüche notiert haben. Ausgehend von den Ergebnissen einer Sortieraufgabe („Sortiert die Blätter nach gleich großen Anteilen.“) finden sie weitere gleich große Brüche und zeichnen die entsprechenden Anteile mit Hilfe der leeren Rechtecke. Eine Aufgabenstellung könnte beispielsweise so lauten:

„Finde zu den Brüchen weitere gleich große Brüche. Die Anteilabbildungen auf der Rückseite können dir helfen. Zeichne die Anteile auf die leeren rechteckigen Blätter. Wie bist du vorgegangen? Erkläre.“

Die Lernenden bearbeiten die Aufgabe in Kleingruppen. Dort sortieren sie die Faltblätter in Gruppen mit gleich großen Anteilen. Dann drehen sie die Faltblätter um, sodass die Brüche zu sehen sind, sortieren doppelte Brüche aus und präsentieren ihre Ergebnisse den anderen Lernenden. Gemeinsam können die Ergebnisse dann sortiert und die Sortierungen der Größen nach geordnet werden.

Abbildung 30: Beispiele für gleich große Brüche, nach der Größe des Zählers/ Nenners geordnet

Eine vertiefende Auseinandersetzung kann beispielsweise durch folgende Fragestellungen initiiert werden:

• Vergleicht die gleich großen Brüche. Was fällt euch auf?
• Ordne die gleich großen Brüche nach der Größe ihrer Zähler/ Nenner. Was fällt dir auf?
• Paul behauptet: „Ich kann zu jedem Bruch noch unendlich viele weitere gleich große Brüche finden.“ Hat er recht? Begründe deine Einschätzung.
• Wie könntest du andere gleich große Brüche in das leere Rechteck zeichnen? Wie würden die Zeichnungen aussehen? Beschreibe.

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Möglichkeiten individueller Unterstützung

Verwenden einer Faltanleitung (für Formen mit Markierungen auf den Seiten)

Eine Faltanleitung, in der das genaue Falten von Papier Schritt für Schritt erklärt und bebildert wird, kann Lernende beim Falten von rechteckigen und quadratischen Papierblättern in gleich große Teile unterstützen.

Die Faltanleitung kann gemeinsam mit den Lernenden erarbeitet und formuliert werden. Die einzelnen Schritte können dann beispielhaft fotografiert und zur Unterstützung der schriftlichen Formulierungen in die Einleitung eingefügt werden.

Das könnte zum Beispiel folgendermaßen aussehen:

1. Überlege dir, welche beiden Seiten des Papiers aufeinanderliegen sollen.
   Lege eine Seite des Papiers an eine gerade, aufrechte Fläche (z. B. einer Wand, eines Schranks oder eines Fensterrahmens), die nicht verrutschen kann.

   

2. Lege nun die gegenüberliegende Seite des Papiers auf die Seite an der Wand, sodass beide Seiten die Wand berühren.

   

3. Halte beide Seiten mit den Fingern einer Hand so fest, dass sie an der Fläche liegen und sich nicht verschieben lassen. Drücke dann mit einem Finger der anderen Hand auf die Faltlinie und falte das Papier. 

   

4. Du kannst so auch die Hälfte von einer Hälfte falten. Lege dazu die mittlere Faltlinie an die Wand und führe die gleichen Schritte durch. 

   

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Möglichkeiten individueller Unterstützung

Für das Beschreiben und Erklären Sprachmuster verwenden und einen Sprachspeicher anlegen

Das Beschreiben der Entdeckungen und Vorgehensweisen kann durch das Anlegen eines Sprachspeichers und die Vorgabe von Sprachmustern und Satzbausteinen unterstützt werden (vgl. hierzu auch Förderschwerpunkt Sprache: Unterricht).

Mögliche Sprachmuster/Satzbausteine

• Das Ganze hat (z. B. drei, vier) gleich große Teile. Der Nenner ist deshalb (z. B. 3, 4).
• In dieser Darstellung sind (z. B. zwei, drei) Teile gefärbt. Der Zähler ist deshalb (z. B. 2, 3).
• In diesem Bruch ist der Zähler (z. B. 3, 4) und der Nenner ist (z. B. 4, 5). Der Bruch heißt (z. B. drei Viertel oder vier Fünftel).
• Hier ist der Anteil (z. B. zwei Drittel, drei Viertel) gefärbt, weil …