Die Übersicht zeigt die Basisaufgabe und Möglichkeiten der Erweiterung, Reduktion und Möglichkeiten der individuellen Unterstützung. „Basisaufgabe: „Immer vier Aufgaben.“ Beschreiben und Begründen der Aufgaben. Dokumentation der Aufgaben. Sortieren und Zuordnen von Termen. Sortieren und Zuordnen verschiedener Darstellungen. Reduktion: Aufgaben finden am Punktefeld. Vorgabe von drei Zahlen. „Immer zwei Aufgaben“. Fokussierung auf Multiplikationsaufgaben. Sortieren von Aufgaben (Aufgabenfamilien bilden). Sortieren und Zuordnen ausgewählter Darstellungen. Erweiterung: Mehrere Aufgabenfamilien zu einer Zahl. Aufgabenfamilien zu einer selbst gewählten Zahl finden. Beschreiben und Begründen der Aufgabe aus der Vorstellung heraus. Möglichkeiten individueller Unterstützung: Zur Fokussierung von Reihen in den Plättchendarstellungen eine „Lupe“ verwenden. Statt Wendeplättchen Wendesteine zum Legen der Punktefelder nutzen. Zur Verbalisierung Wortbausteine und Sprachmuster vorgeben.“
Abbildung 1: Übersicht_Aufgabenstellung kompakt "Aufgabenfamilien"

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Basisaufgabe

"Immer vier Aufgaben"

Material: AB, Stift

Grundlegend geht es bei dieser Aufgabenstellung um das Erkennen und Nutzen von Beziehungen zwischen Aufgabe, Tauschaufgabe und den zugehörigen Umkehraufgaben.

Zu einer vorgegebenen Zahl sollen immer vier Aufgaben notiert werden: zwei Malaufgaben und zwei Geteiltaufgaben.

Geklärt werden muss vor der Bearbeitung der Aufgabenstellung, dass es um die Notation von "Aufgabenfamilien" geht, d.h. gesucht ist immer eine Aufgabe, die zugehörige Tauschaufgabe und die jeweiligen Umkehraufgaben.

Nicht vorgegeben wird die "Position" der Zahl in der Aufgabe, d.h. so kann die Zahl in einer Multiplikationsaufgabe beispielsweise als Ergebniszahl, Multiplikand oder Multiplikator auftreten. Hierdurch ergibt sich die Möglichkeit, dass zu einer vorgegebenen Zahl unterschiedliche "Aufgabenfamilien" notiert werden (vgl. hierzu auch Erweiterung "Verschiedene Aufgabenfamilien zu einer Zahl").

Wichtig: 

Im Vorfeld

  • Mal- und Geteiltaufgaben zu Rechteckdarstellungen finden lassen
  • Beziehungen zwischen Multiplikation und Division über Aufgaben und Umkehraufgaben herausstellen
  • Sichern der Begriffe Aufgabe, Umkehraufgabe, Tauschaufgabe
  • Klären, dass immer eine Aufgabe, die zugehörige Tauschaufgabe und die jeweiligen Umkehraufgaben gesucht sind ("Aufgabenfamilie")

Vorgegebene Zahl 6:

"Finde Aufgabenfamilien: Immer zwei Mal- und zwei Geteiltaufgaben!"

Gelbe Karte, auf der in schwarz die „6“ abgedruckt ist.

Beispiele für mögliche Aufgabenfamilien zu der Zahl 6:

4 verschiedene Aufgabenfamilien, eine Aufgabenfamilie ist durch 4 Aufgaben ein einem Kasten dargestellt. Die Zahl 6 ist jeweils durch die gelbe Zahlenkarte „6“ ersetzt. Erste Aufgabenfamilie: „2 mal 3 = 6, 3 mal 2 = 6, 6 geteilt durch 3 = 2, 6 geteilt durch 2 = 3“. Zweite Aufgabenfamilie: „3 mal 6 = 18, 6 mal 3 = 18, 18 geteilt durch 6 = 3, 18 geteilt durch 3 = 6“. Dritte Aufgabenfamilie: „5 mal 6 = 30, 6 mal 5 = 30, 30 geteilt durch 6 = 5, 30 geteilt durch 5 = 6“. Vierte Aufgabenfamilie: „4 mal 6 = 24, 6 mal 4 = 24, 24 geteilt durch 6 = 4, 24 geteilt durch 4 = 6“.
Abbildung 2

Vertiefung

Beschreiben und Begründen der Aufgaben

Material: AB, Stift

Da die Aufgabe in Einzelarbeit bearbeitet wird, erfolgt das Beschreiben und Begründen der Aufgaben ausschließlich schriftlich. Möglichkeiten der Versprachlichung werden unter: "Vertiefung - Dokumentation der Aufgaben" ausführlich dargestellt.


Vertiefung

Dokumentation der Aufgaben

Material: AB, Stift

Neben der Notation der Aufgaben in symbolischer Form kann zusätzlich eine ausführlichere Form der Dokumentation angeregt werden. Hierdurch wird von den Kindern  zusätzlich ein Darstellungswechsel eingefordert.

Beispiele für eine ausführlichere Dokumentation am Beispiel einer Aufgabenfamilie zur Zahl 6:

Aufgabenfamilie: „2 mal 3 = 6, 3 mal 2 = 6, 6 geteilt durch 3 = 2, 6 geteilt durch 2 = 3“. Die Zahl 6 ist jeweils durch die gelbe Zahlenkarte „6“ ersetzt.
Abbildung 3: Aufgabenfamilie

 

Legen oder Zeichnen eines passenden Punktefeldes.

Links: 2 mal 3 – Punktefeld (blaue Plättchen auf schwarzem Untergrund), rechts: 3 mal 2 – Punktefeld (blaue Punkte auf Kästchenpapier).
Abbildung 4

Beschreiben und Begründen (mögliche Versprachlichung):

Die Kinder formulieren nach dem Legen bzw. Zeichnen eines passenden Punktefeldes selbständig oder ergänzen vorgegebene Sätze.

6 Kärtchen mit vorgegebenen Sätzen zum Ausfüllen. 1. „Es liegen _ Plättchen in einer Reihe. Es sind _ Reihen. Aufgabe: _ mal _.“ 2. „_ Plättchen in einer Reihe. _ Reihen. Aufgabe: _ mal _.“ 3. „Es sind zusammen _ Plättchen. Es sind _ Reihen. Aufgabe: _ geteilt durch _.“ 4. „_ Plättchen in _ Reihen. Aufgabe: _ geteilt durch _.“ 5. „Es sind zusammen _ Plättchen. Es liegen immer _ in jeder Reihe. Aufgabe: _ geteilt durch _.“ 6. „_Plättchen. _ in jeder Reihe. Aufgabe: _ geteilt durch _.“
Abbildung 5

 

Vertiefung

Sortieren und Zuordnen von Termen

Material: Sortiertafel, vorgegebene Aufgaben

Die Kinder erhalten Karten mit verschiedenen Mal- und Geteiltaufgaben. Auf einer Sortiertafel werden die vier Aufgaben, die zu einer Aufgabenfamilie gehören, einander zugeordnet. Um eine passende Zuordnung treffen zu können, müssen die Ergebnisse von den Kindern ermittelt werden.

Sortiertafel. Überschrift: „Immer vier Aufgaben passen zusammen.“ Darunter drei Reihen mit Aufgabenkarten. Erste Reihe: „6 geteilt durch 3“, „2 mal 3“. Zweite Reihe: „4 mal 5“, „20 geteilt durch 5“, „20 geteilt durch 4“. Dritte Reihe: „10 mal 2“. Rechts daneben weitere Aufgabenkarten (z.B. 20 geteilt durch 10, 18 geteilt durch 6).
Abbildung 6

Vertiefung

Sortieren und Zuordnen verschiedener Darstellungen

Material: Sortiertafel, Karten mit verschiedenen Darstellungen

Die Kinder erhalten Karten mit verschiedenen Darstellungen von Mal- und Geteiltaufgaben und ordnen auf einer Sortiertafel passende Darstellungen einander zu. Der Fokus liegt hier auf der Verknüpfung bzw. Zuordnung von Darstellungen einer Darstellungsform bzw. zwischen verschiedenen Darstellungsformen.

Sortiertafel. Überschrift: „Was passt zusammen?“ Darunter 3 Reihen. In der erste Reihe liegen 2 Karten: 3 mal 6 - Punktefeld und „18 geteilt durch 3“. Rechts daneben weitere Karten mit Aufgaben in symbolischer Form, Punktefeldern und Beschreibungen der Punktefelder (z.B. „18 Plättchen 6 in jeder Reihe“).
Abbildung 7

Wichtig: Aufgrund der Mehrdeutigkeit von einzelnen Darstellungen kann es zu unterschiedlichen Sortierungen kommen.

Zwei Sortiertafeln nebeneinander. Überschrift: „Was passt zusammen?“ Darunter 3 Karten mit verschiedenen Darstellungen. Die linke Sortiertafel zeigt „Paulas Sortierung“: Karte 1: 3 mal 6 Punktefeld, Karte 2: „18 geteilt durch 6“, Karte 3: „18 Plättchen, 6 in jeder Reihe“. Die rechte Sortiertafel zeigt „Hassans Sortierung“: Karte 1: 3 mal 6 Punktefeld, Karte 2: „3 mal 6“, Karte 3: „6 in einer Reihe, 3 Reihen“.
Abbildung 8

Ein Vergleich solch unterschiedlicher Sortierungen bietet in einer sich anschließenden Reflexionsphase eine gute Gesprächs- und Diskussionsgrundlage.


Reduktion

Aufgaben finden am Punktefeld

Material: Wendeplättchen, Darstellungen von Punktefeldern, AB, Stift

Das Arbeiten auf der rein symbolischen Ebene (vgl. Basisaufgabe "Immer vier Aufgaben")  wird zurückgestellt. Die Kinder erhalten neben der vorgegebenen Zahl ein Punktefeld, das zu dieser Zahl passt (Die Zahl stellt entweder die Gesamtzahl der Punkte oder die Anzahl der Punkte in einer Spalte oder Reihe dar). Das Finden von Aufgaben kann durch das Einbeziehen des Punktefeldes unterstützt werden.

Beispiel "Zahl und Punktefeld":

 Links: Gelbe Zahlenkarte „6“. Rechts daneben Karte mit 3 mal 2 Punktefeld.
Abbildung 9

Beispiel für eine mögliche Notation:

Handschriftliche Notation auf Kästchenpapier. Links: Gemalte Zahlenkarte „6“. Mitte: 3 mal 2 - Punktefeld (die horizontal nebeneinanderliegenden Punkte sind eingekreist). Rechts: Symbolische Notation untereinander: „3 mal 2 = 6, 2 mal 3 = 6, 6 geteilt durch 3 = 2, 6 geteilt durch 2 = 3“.
Abbildung 10

Alternativ können die Kinder auch angeregt werden, zu der gegebenen Zahl zunächst selber ein Punktefeld zu legen oder zu zeichnen, die entsprechenden Mal- und Geteiltaufgaben zu notieren und in das Punktefeld einzuzeichnen.


Reduktion

Vorgabe von drei Zahlen

Material: AB, Stift

Es werden drei Zahlen vorgegeben, zu denen vier Aufgaben notiert werden sollen. 

Wichtig: Hier gilt es zu erkennen / zu klären, dass die größte Zahl immer die Gesamtmenge an Plättchen darstellt, d.h. sie ist das Ergebnis der Malaufgaben bzw. stellt die zu teilende Menge (Dividend) dar.

Beispiel "Drei Zahlen und vier Aufgaben":

Aufgabenkarte. Überschrift: „Drei Zahlen und vier Aufgaben“. Darunter die Zahlenkarten 6, 18 und 3.
Abbildung 11

Eine weitere Möglichkeit der Reduktion:

Je nach Lernvoraussetzungen der Kinder kann es sinnvoll sein, nur jeweils eine Mal- und eine Geteiltaufgabe notieren zu lassen.

Beispiel "Aufgabe und Umkehraufgabe":

Arbeitskarte. Überschrift: „Aufgabe und Umkehraufgabe“. Darunter die Zahlenkarten 6, 18 und 3. Darunter Vorlage mit Lücken zum Ausfüllen. Linie 1: „_ mal _ = _“. Linie 2: „_ geteilt durch _ = _“.
Abbildung 12

Reduktion

"Immer zwei Aufgaben"

FOKUSSIERUNG AUF DAS FINDEN EINER AUFGABE UND DER ZUGEHÖRIGEN UMKEHRAUFGABE

Material: Wendeplättchen, Darstellungen von Punktefeldern, AB, Stift

Die Kinder werden angeregt, zu einem gegebenen Punktefeld eine Divisionsaufgabe und die zugehörige Multiplikationsaufgabe (Umkehraufgabe) zu finden und zu notieren. In Bezug auf das Punktefeld ist zunächst eine Konzentration auf die Grundsituation des Aufteilens sinnvoll (vgl. hierzu Hintergrund "Operationen verstehen").

Beispiel "Punktefeld":

3 mal 6 Punktefeld.
Abbildung 13

Beispiel für eine mögliche Notation:

Handschriftliche Notation auf Kästchenpapier: „3 mal 6 = 18“. Darunter „18 geteilt durch 6 = 3“.
Abbildung 14

Variation: Neben dem Punktefeld wird die Multiplikationsaufgabe (alternativ die Divisionsaufgabe) vorgegeben und die zugehörige Umkehraufgabe muss notiert werden.

Arbeitsblatt / Variante 1. Überschrift: „Immer zwei Aufgaben“. Darunter zwei Punktefelder nebeneinander. Links: 3 mal 6 Punktefeld. Darunter: „3 mal 6 = 18“, darunter „_ geteilt durch _ = _“. Rechts: 2 mal 3 Punktefeld. Darunter: „2 mal 3 = 6“, darunter „_ geteilt durch _ = _“.
Abbildung 15
Arbeitsblatt / Variante 2. Überschrift: „Immer zwei Aufgaben“. Darunter zwei Punktefelder nebeneinander. Links: 3 mal 6 Punktefeld. Darunter Malaufgabe: „3 mal 6 = 18“, darunter „_ geteilt durch 6 = 3“. Rechts: 2 mal 3 Punktefeld. Darunter Malaufgabe: „2 mal 3 = 6“. Darunter: „6 geteilt durch _ = 2“.
Abbildung 16
3 mal 4 Punktefeld. Die 3 horizontalen Punktereihen sind jeweils eingekreist.
Abbildung 17

Eine zusätzliche Unterstützung kann das Einzeichnen der Divisionsaufgabe in das Punktefeld bieten.


Reduktion

Fokussierung auf Multiplikationsaufgaben

Material: Wendeplättchen, Darstellungen von Punktefeldern, AB, Stift

Je nach Lernvoraussetzungen des einzelnen Kindes kann es sinnvoll sein, den Fokus auf die Notation von Multiplikationsaufgaben zu legen und das Finden von Divisionsaufgaben noch zurückzustellen.

Hier gibt es zum einen die Möglichkeit, die Kinder auf der symbolischen Ebene arbeiten zu lassen:

Beispiel "Finde Malaufgaben zu der Zahl 6":

Zwei unterschiedliche Schülerlösungen zur Aufgabe „Finde Malaufgaben zu der Zahl 6“. Links: „1 mal 6 = 6, 2 mal 6 = 12, 3 mal 6 = 18, 0 mal 6 = 0, 6 mal 1 = 6“. Rechts: „2 mal 3 = 6, 1 mal 6 = 6, 6 mal 1 = 6, 3 mal 2 = 6“.
Abbildung 18

Zusätzlich können die Kinder angeregt werden, zu den Aufgaben passende Punktefelder zu zeichnen oder mit Plättchen zu legen. Hierdurch wird die Aufmerksamkeit der Kinder zum einen auf eine der notierten Multiplikationsaufgaben gerichtet. Zugleich stellt das Zeichnen eines Punktefeldes auch eine "Übersetzungsleistung" dar (vgl. hierzu Modul Hintergrund „Operationen verstehen“): symbolische Darstellung → Bild.

Ein mögliches Punktefeld kann auch durch die Lehrkraft vorgegeben werden. Allerdings wird hierdurch die Anzahl der möglichen Aufgaben eingeschränkt, da die Aufgaben durch das Punktefeld bereits festgelegt sind (6 als Ergebnis oder 6 als Faktor).


Reduktion

Sortieren von Aufgaben (Aufgabenfamilien bilden)

Material: Sortiertafel, vorgegebene Aufgaben

Die Kinder erhalten Karten mit verschiedenen Mal- und Geteiltaufgaben. Auf einer Sortiertafel werden die vier Aufgaben, die zu einer Aufgabenfamilie gehören, einander zugeordnet (vgl. hierzu auch die Vertiefung "Sortieren und Zuordnen von Termen").

Sortiertafel. Überschrift: „Immer vier Aufgaben passen zusammen.“ Darunter zwei Reihen mit Aufgabenkarten. Erste Reihe: „6 geteilt durch 3 = 2“, „2 mal 3 = 6“. Zweite Reihe: „4 mal 5 = 20“, „20 geteilt durch 4 = 5“, „20 geteilt durch 5 = 4“. Rechts daneben weitere Aufgabenkarten (zum Beispiel „10 mal 2 = 20“, „2 mal 10 = 20“, „20 geteilt durch 10 = 2“).
Abbildung 19

Variation (Aufgabe und Umkehraufgabe):

Analog zur obigen Aufgabe erhalten die Kinder Karten mit verschiedenen Mal- und Geteiltaufgaben. Die Aufgabe besteht nun allerdings darin, immer nur zwei Aufgaben (d.h. Aufgabe und zugehörige Umkehraufgabe) oder - alternativ - immer nur zwei Terme einander zuzuordnen.

Zwei Sortiertafeln nebeneinander. Überschrift: „Immer zwei Aufgaben passen zusammen“. Darunter jeweils zwei Reihen mit Aufgabenkarten. Links: „Möglichkeit 1“. Erste Reihe: „20 geteilt durch 5 = 4“, 4 mal 5 = 20“. Zweite Reihe: „6 geteilt durch 3 = 2“, „2 mal 3 = 6“. Rechts: „Möglichkeit 2 (Terme)“. Erste Reihe: „20 geteilt durch 5“, „4 mal 5“. Zweite Reihe: „6 geteilt durch 3“, „2 mal 3“.
Abbildung 20

Reduktion

Sortieren und Zuordnen ausgewählter Darstellungen

Material: Sortiertafel, Karten mit verschiedenen Darstellungen

Den Kindern wird eine reduzierte Anzahl an Darstellungen angeboten, die einander zugeordnet werden sollen. Hierbei kann der Fokus - je nach Lernvoraussetzungen der Kinder und mit Blick auf die individuellen Kompetenzerwartungen – auf die Übersetzung bestimmter Darstellungen gelegt werden (vgl. auch die Praxisbeispiele Vertiefung "Sortieren und Zuordnen verschiedener Darstellungen").

Sortiertafel. Überschrift: „Was passt zusammen?“. Darunter 2 Reihen mit Karten mit verschiedenen Darstellungen. Erste Reihe: 3 mal 2 Punktefeld, „2 in einer Reihe 3 Reihen“. Zweite Reihe: 5 mal 4 Punktefeld. Rechts neben der Sortiertafel weitere Karten mit Punktefeldern und schriftlich-symbolischen Darstellungen (z.B. „20 Plättchen 5 in jeder Reihe“).
Abbildung 21

Erweiterung

Mehrere Aufgabenfamilien zu einer Zahl

Material: AB, Stift

Zu einer vorgegebenen Zahl sollen mehrere verschiedene Aufgabenfamilien notiert werden. Da die jeweilige Position der Zahl in einer Aufgabe nicht vorgegeben ist, kann die Zahl in einer Multiplikationsaufgabe als Ergebniszahl oder Faktor auftreten und in einer Divisionsaufgabe als Dividend, Divisor oder Ergebnis.

Soll die Anzahl der möglichen Aufgabenfamilien eingegrenzt werden, kann als Bedingung vorgegeben werden, dass die vorgegebene Zahl die Ergebniszahl einer Multiplikationsaufgabe (bzw. Dividend einer Geteiltaufgabe) ist.

Beispiel:

"12 als Ergebnis einer Malaufgabe - Finde alle Aufgabenfamilien. Wie gehst du vor?"

Mögliche Aufgabenfamilien:

3 Kästchen mit Aufgabenfamilien. Die Zahl 12 ist mit einer gelbe Zahlenkarte 12 dargestellt. Links: „1 mal 12 = 12, 12 geteilt durch 12 = 1, 12 mal 1 = 12, 12 geteilt durch 1 = 12“. Mitte: „2 mal 6 = 12, 12 geteilt durch 6 = 2, 6 mal 2 = 12, 12 geteilt durch 2 = 6“. Rechts: „3 mal 4 = 12, 12 geteilt durch 4 = 3, 4 mal 3 = 12, 12 geteilt durch 3 = 4“.
Abbildung 22

Erweiterung

Aufgabenfamilien zu einer selbst gewählten Zahl finden

Material: AB, Stift

Die Kinder haben die Möglichkeit, selber eine Zahl zu bestimmen, zu der sie dann jeweils zwei Mal- und zwei Geteiltaufgaben finden. Auch Zahlen aus dem erweiterten Zahlenraum können ausgewählt werden.

Beispiel für eine Aufgabenfamilie zu der selbst gewählten Zahl 444:

Schülerlösung zur Aufgabenfamilie der Zahl 444: „888 geteilt durch 444 = 2, 888 geteilt durch 2 = 444, 444 mal 2 = 888, 2 mal 444 = 888“.
Abbildung 23

Erweiterung

Vier Zahlen - Wie viele Aufgaben?

Material: AB, Stift

Die Kinder erhalten vier Zahlen wie z.B. 2, 3, 6, 18.

Die Aufgabenstellung lautet: Schreibe alle Mal- und Geteiltaufgaben auf. Wie gehst du vor?

Mögliche Aufgaben: 2·3=6; 3·2=6; 6:2=3; 6:3=2; 3·6=18; 6·3=18; 18:3=6; 18:6=3


Erweiterung

Beschreiben und Begründen aus der Vorstellung heraus

Material: AB, Stift

Im Gegensatz zur Vertiefung (vgl. Beschreiben und Begründen sowie Dokumentation der Aufgaben) wird bei der Erweiterung das Beschreiben und Begründen ohne ein sichtbares Punktefeld eingefordert. D. h., die Kinder beschreiben ein mögliches zu der Aufgabenstellung passendes Punktefeld aus der Vorstellung heraus.

Auch hier ist möglich, dass die Kinder selbständig formulieren oder vorgegebene Sätze ergänzen:

Handschriftliche Schülerlösung: „In einer Reihe sind 8 Plättchen. Ich habe 3 Reihen. Zusammen 24 Plättchen.“
Abbildung 23
 

Möglichkeiten individueller Unterstützung

  • Zur Fokussierung von Reihen in den Plättchendarstellungen eine "Lupe" verwenden:
2 mal 3 Punktefeld (blaue Plättchen auf schwarzem Untergrund). Eine transparente rote Folie liegt über dem Punktebild, ein ausgeschnittenes Sichtfenster zeigt die erste Reihe.
Abbildung 24
  • Statt Wendeplättchen Wendesteine zum Legen der Punktefelder nutzen. 
  • Zur Verbalisierung Wortbausteine und Sprachmuster vorgeben (vgl. hierzu auch Vertiefung „Beschreiben und Begründen“ sowie „Dokumentation der Aufgaben").