Hintergrund

Kontinuierlich Basiskompetenzen sichern:  Schriftlicher Algorithmus der Division

Schriftliche Rechenverfahren sind grundlegender Bestandteil des Mathematikunterrichts. Sie bieten den Lernenden einen strukturierten Zugang zu Algorithmen, die „heute in der Mathematik und ihren Anwendungen einen immer größeren Raum ein[nehmen].“ (Wittmann & Müller 2024, S. 240ff). Gleichzeitig stellt die Umsetzung der schriftlichen Algorithmen, insbesondere des Algorithmus der schriftlichen Division eine große Herausforderung für die Lernenden dar. Die Ursache dafür liegt in der Komplexität der Anwendung, die im Folgenden genauer erläutert werden. Die nachfolgende Abbildung zeigt ausgewählte Kompetenzen, die vor und nach dem Erlernen des schriftlichen Divisionsalgorithmus aufgebaut werden bzw. die Anschlussaktivitäten ermöglichen.

Die schriftliche Division ist – anders als in den Bildungsstandards -  im Lehrplan des Landes Nordrhein-Westfalen unter dem inhaltlichen Schwerpunkt des Ziffernrechnens verankert. Im Vergleich zu beispielsweise den halbschriftlichen Rechenstrategien wird beim schriftlichen Rechnen nicht mehr mit z.B. ausgewählten Zerlegungen der Zahlen gerechnet. Vielmehr werden die Zahlen auf ihre Ziffern reduziert, so dass mithilfe des kleinen Einmaleins bzw. Einspluseins (und deren Umkehrungen) schnell und effektiv gerechnet werden kann. Hierbei besteht selbstredend die Gefahr, „Zahlen als Ganzes […] aus dem Blick [zu] verlieren“ (Padberg & Benz, 2021, S. 244) und den Algorithmus ohne Verständnis der Rechenschritte, sowie dazugehöriger Vorstellungen durchzuführen. In der praktischen Umsetzung sind schriftliche Algorithmen daher auch fehleranfällig.

Im Unterschied zu den Verfahren der Addition, Subtraktion und Multiplikation wird am Ende der Klasse 4 nicht explizit gefordert, dass die schriftliche Division sicher beherrscht wird (Lehrplan NRW, 2021, S. 88). Ziel ist, den schriftlichen Divisionsalgorithmus zu verstehen, um ihn in Klasse 5 und 6 eigenständig durchführen zu können. Das „Verfahren der schriftlichen Division (unterscheidet sich) von den anderen schriftlichen Rechenverfahren dadurch, dass es beim höchsten Stellenwert beginnt und sich der Stellenwert aller Ergebnisziffern erst beim letzten Rechenschritt ergibt“ (Gerster, 2017, S. 262). Mit dieser strukturellen Besonderheit gehen Teilschritte sowie spezifische Herausforderungen bei der Durchführung des schriftlichen Divisionsalgorithmus einher.

Ein verständnisbasierter und materialgestützter Zugang, einschließlich konkreter begleitender Impulsfragen, kann einer schematischen Anwendung entgegenwirken und inhaltliches Verständnis über die vorstellungsaktivierende Erkundung von Teilschritten erzeugen. Die verstehensbasierte Erarbeitung der schriftlichen Division erfordert aber nicht allein die Basiskompetenz des Ziffernrechnens, sondern auch die Basiskompetenzen des Stellenwert- sowie des Operationsverständnisses. Das Stellenwertverständnis ist essenziell, da durch das ziffernweise Vorgehen die einzelnen Stellenwerte beachtet werden müssen.

Auch ein tragfähiges Operationsverständnis ist grundlegend, um den Algorithmus und die damit verbundenen Teilschritte zu verstehen und im Zusammenhang deuten zu können. Schriftliche Rechenverfahren bauen auf Wissen der Kinder aus vorherigen Klassenstufen auf. Bezogen auf die schriftliche Division fallen darunter Grundvorstellungen der Multiplikation, Division und Subtraktion sowie eine Automatisierung des kleinen Einmaleins. Die Division wird in dem Kontext als Umkehrung der Multiplikation verstanden. Außerdem sind u. a. Vorstellungen des gerechten Teilens, (Ent-) Bündelungsprozesse, Stellenwertverständnis, sowie halbschriftliche Verfahren nötig. Bevor die Lernenden schriftliche Rechnungen durchführen ist es von großer Bedeutung,  dass sie flexibel mit halbschriftlichen Rechenverfahren rechnen können. „Beim halbschriftlichen Rechnen werden Teildividenden und Teilergebnisse jeweils als Zahlganzheit notiert, während die Notation beim schriftlichen Rechnen ziffernweise erfolgt“ (Baiker et al. 2023). Selter & Zannetin (2024) erläutern:

„der schriftliche Divisionsalgorithmus kann der halbschriftlichen Strategie „Schrittweise“ […] gegenübergestellt werden. Stellenweise wird immer das größtmögliche Vielfache als Teildividend (600) ermittelt und durch den Divisor (2) geteilt, um so die Teilquotienten (200) stellen weise zu bestimmen. Die Teildivisionen werden ziffernweise untereinander notiert und der Teilquotient als entsprechender Stellenwert im Ergebnis notiert (schreibe 2 Hunderter). Die neuen größtmöglichen Teilquotienten ergeben sich dann durch das „Herunterholen“ der Ziffern“ (S. 89). Ferner kann „das Streben nach einer Minimierung der Anzahl der Zerlegungsschritte den Übergang vom halbschriftlichen zum schriftlichen Dividieren motivieren“ (Padberg & Benz, S. 306).

Im Laufe der Grundschulzeit bauen Kinder Grundvorstellungen des Aufteilens und Verteilens zur Division weiter auf. Der Aufbau dieser Grundvorstellungen „ermöglicht die Übersetzung zwischen verschiedenen Darstellungsformen. Sie helfen somit einerseits, Situationen des realen Lebens mit den Mitteln der Mathematik zu beschreiben und zu bewältigen, andererseits befähigen sie dazu, mathematisch-symbolische Darstellungen zu verstehen und mit ihnen zu arbeiten“ (Schulz & Wartha 2021, S. 184). So werden für die Division „die Grundvorstellungen des gerechten Verteilens (dynamisch) bzw. der gerechten Verteilung (statisch) auf Teilmengen und des Aufteilens (dynamisch) bzw. der Aufteilung (statisch) in gleichmächtige Teilmengen thematisiert und erarbeitet“ (Schulz & Wartha 2021, S. 184). Die vorliegende Aufgabenstellung kompakt basiert auf der Grundvorstellung des Aufteilens („Wie oft passt ... in …?“). Das Aufteilen wird durch das Herstellen von Bündelungseinheiten in der Mächtigkeit des Divisors aufgegriffen, wenn beispielweise durch vier geteilt wird, bilden die Lernenden immer Viererbündel. Dabei stellen die Lernenden Bündel innerhalb der Stellenwerte her. Bleiben Elemente übrig, die nicht gebündelt werden können, werden diese in den nächstkleineren Stellenwert entbündelt und dort weiter gebündelt. Aus den dadurch entstandenen Bündeln kann das Ergebnis innerhalb der Stellenwerttafel abgelesen werden. Dadurch können weitere Einblicke in das Stellenwertsystem gewonnen werden. Hintergrundinformationen zum Aufbau der Grundvorstellungen finden sie unter KIRA: Arithmetik: Operationsverständnis: Aufteilen und Verteilen.

Das Erlernen des Algorithmus ermöglicht Anschlussaktivitäten, bei denen an das Verfahren angeknüpft werden kann. Wittmann und Müller (2024, S. 240 ff.) betonen, dass die schriftlichen Rechenverfahren als die einfachsten Beispiele von Algorithmen gelten und daher eine exemplarische Bedeutung für das Fach besitzen. Besonders durch produktive Übungen mit diesen Verfahren eröffnet sich „ein reichhaltiges Feld für die Erforschung, Beschreibung und Begründung von Mustern“ (ebd., S. 240). Schriftliche Verfahren, vor allem die schriftliche Division, stellen eine Grundlage für den „weiterführenden Mathematikunterricht“ sowie für die „Zahlbereichserweiterung“, beispielsweise durch die Erweiterung durch Dezimalzahlen, dar (ebd., S. 241): „In der Grundschule bricht man eine Division wie 4327:12 mit ‚360 Rest 7‘ ab. Mit Dezimalzahlen kann man sie aber unbeschränkt weiterführen: 7 Einer werden in 70 Zehntel verwandelt 70 Zehntel:12 = 5 Zehntel, Rest 10 Zehntel“ (ebd., S. 241).

Der schriftliche Divisionsalgorithmus: Teilschritte und Herausforderungen

Der schriftliche Divisionsalgorithmus ist mit der Durchführung von vorgegebenen Teilschritten verbunden. Padberg und Büchter beschreiben die schriftliche Division als die „schwierigste“ Grundrechenart (2015, S. 57). Dabei stellt insbesondere das Rechnen mit mehrstelligen Divisoren aufgrund der vielen zu durchlaufenden Teilschritte eine besondere Herausforderung dar. Im Folgenden werden zwei typische Herausforderungen genauer beleuchtet, die auch in der nachfolgenden Aufgabenstellung kompakt aufgegriffen werden:

Beim schriftlichen Dividieren wird der Dividend schrittweise zerlegt. Dem liegt der dezimale Aufbau als Bezugspunkt zugrunde (Padberg & Benz, 2021, S. 307). „Der Dividend wird genauer so in Teildividenden zerlegt, dass sich bei jedem Divisionsschritt nur eine Ziffer des Quotienten ergibt. Das Verfahren selbst liefert also faktisch die geeignete Zerlegung“ (Padberg & Benz, 2021, S. 307). Beginnend mit dem größten Stellenwert des Dividenden – anders als bei anderen schriftlichen Rechenverfahren – „wird geprüft, wie häufig der Divisor in die Anzahl dieser Bündelungseinheit hineinpasst“ (Selter & Gutscher, 2022, S. 2). Daraufhin wird die Differenz in die nächstkleinere Stellenwerteinheit entbündelt, woraufhin die bereits vorhandenen mit den entbündelten Elementen in dem jeweiligen Stellenwert zusammengefasst werden (Nührenbörger et al., 2019, S. 125). „Die so entstehenden Teilergebnisse werden hintereinander notiert und ergeben das Ergebnis der Ausgangsaufgabe“ (Selter & Gutscher, 2022, S. 2). Sind alle Stellenwerte bearbeitet und bleibt dennoch eine Differenz übrig, so wird diese zunächst als Rest notiert. Mit dem Einsatz der erweiterten Stellentafel, die in Abbildung 2 dargestellt ist, kann allerdings auch diese Differenz äquivalent zum bisherigen Vorgehen in die nächstkleinere Einheit entbündelt werden, sodass eine Dezimalzahl als Ergebnis entsteht. Ab dem Zeitpunkt, zu dem eine Stelle von den Einern in Zehntel entbündelt wird, wird im Quotienten ein Komma notiert. Das Ergebnis kann nach weiteren Rechenschritten sowohl endlich als auch periodisch sein (Büchter & Donner, 2024, S. 171). In der erweiterten Stellenwerttafel ist dies durch eine dicke gezeichnete Linie gekennzeichnet. Die erweiterte Stellenwerttafel behält dabei die Grundprinzipien der natürlichen Zahlen bei: Jede Stelle hat eine feste Reihenfolge, und jeder Stellenwert ist ein Zehntel des nächstlinken. Nach dem Komma folgen Zehntel, Hundertstel, Tausendstel usw. Die Tafel lässt sich nach rechts und links beliebig fortsetzen (Sprenger & Hußmann, 2014, S. 102).

Neben dem schrittweisen Entbündeln in die nächstkleinere Einheit, kann der Umgang mit Nullen für Kinder eine Herausforderung darstellen. Die Null kann in den Divisionsaufgaben an verschiedenen Stellen (u. a. im Dividenden und im Ergebnis) vorkommen.

Zum einen kann es bei der Durchführung des schriftlichen Algorithmus vorkommen, dass der Divisor „Null mal“ in den Teildividenden passt. Diese Null wird im Ergebnis notiert. Dies kann zu einem Stolperstein werden und wird in der nachfolgenden Aufgabenstellung kompakt in einer Erweiterung thematisiert. 

Zum anderen kann die Null im Dividenden auftreten, sodass der Teildividend an einer Stelle eine Null darstellt. Dies ist der Fall, wenn bei einem Teilschritt der schriftlichen Division keine Differenz übrigbleibt, somit nicht entbündelt werden muss, und die nächste Ziffer im Dividenden eine Null ist. Stellt sich die Frage im Verlauf der Bearbeitung, wie oft der Divisor in die Null hineinpasst, lautet die Antwort „Null mal“. Diese Null wird im Quotienten notiert. Ein möglicher Stolperstein ist hier, dass das Notieren des Ergebnisses vergessen und der Schritt übersprungen wird. Mit der Fehlvorstellung „Null ist nichts“ wird häufig die Null übersprungen und direkt die nächste Zahl betrachtet. In der Erarbeitung der Aufgabenstellung kompakt wird somit ebenfalls ein Fokus auf die Null im Algorithmus gelegt.