Es gibt verschiedene Möglichkeiten Rechenaufgaben zu lösen:
(1) Im Kopf, d. h. ohne, dass eine Notation erfolgt,
(2) gestützt durch das Aufschreiben von einzelnen Zwischenrechnungen bzw. Rechenschritten (auch „halbschriftliches“ Rechnen genannt – vgl. Zahlenrechnen) und
(3) schriftlich, indem Algorithmen ausgeführt werden. Diese Möglichkeiten werden auch als Methoden des Rechnens bezeichnet (Benz 2005, Schipper 2009, Selter 2000). Die Thematisierung aller Methoden ist in den Bildungsstandards und den Lehrplänen verankert und für die unterschiedlichen Methoden werden unterschiedliche Lernziele formuliert. Für die schriftlichen Verfahren heißt es dort: Die Schüler*innen „verstehen schriftliche Verfahren der Addition, Subtraktion und Multiplikation, beschreiben den Algorithmus, führen diesen geläufig aus und wenden ihn bei geeigneten Aufgaben an“ (KMK 2022, 14).
Am Beispiel der schriftlichen Subtraktion werden im Folgenden die Ziele
Verstehen und Beschreiben,
geläufiges Ausführen und
aufgabenangemessenes Anwenden
näher betrachtet.
Anschließend werden Lern-Chancen für den inklusiven Mathematikunterricht aufgezeigt. Hier soll geklärt werden, welche (weiteren) Lernziele mit der Thematisierung der schriftlichen Verfahren im inklusiven Unterricht erreicht werden können.
Schriftliche Verfahren verstehen
Einen „Algorithmus zu verstehen“ bedeutet, zu wissen „wie und warum er funktioniert“. Bei der schriftlichen Subtraktion sollten Lernende Antworten auf Fragen wie zum Beispiel diese kennen: Warum rechne ich eigentlich von unten nach oben bzw. von rechts nach links? Warum notiere ich hier unten eine kleine 1? Warum streiche ich hier oben die Zahl durch und schreibe eine um Eins kleinere Zahl dort hin? Warum kann ich plötzlich 2–7 rechnen?
Vorschläge dafür, wie die schriftliche Subtraktion im Unterricht verständnisbasiert, unter Nutzung von Veranschaulichungen und Handlungen am Material thematisiert werden kann, finden Sie in der Rubrik Unterricht. Verstehensorientierte Erläuterungen der Verfahren der schriftlichen Subtraktion für Lehrkräfte finden Sie hier im Hintergrund.
Das Verstehen der schriftlichen Subtraktion ist allerdings auch eine besondere Herausforderung – nicht nur im inklusiven Mathematikunterricht. Das liegt unter anderem daran, dass der Algorithmus vergleichsweise einfach und korrekt durchgeführt werden kann, auch ohne ihn verstehen zu müssen (siehe hierzu unten: Das „geläufige Ausführen“). Dazu zwei Anmerkungen:
(1) Vielleicht kann einem mechanischen und unverstandenen Rechnen begegnet werden, indem eine Gewichtung der einzelnen Ziele vorgenommen wird: Wenn im Unterricht vor allem Wert gelegt wird auf das Verstehen des Vorgehens und auf das aufgabenangemessene Nutzen der schriftlichen Verfahren und weniger auf das Einschleifen des Verfahrens und auf das Produzieren möglichst vieler richtiger Lösungen, kann dieser „Teufelskreis“ möglicherweise durchbrochen werden.
(2) Die stärkere Gewichtung des Verstehens kann darüber hinaus einen positiven Einfluss auf das korrekte Lösen von Aufgaben haben. Unterschiedliche Untersuchungen legen genau diesen Schluss nahe (zusammenfassend vgl. Jensen & Gasteiger 2019). Dies kann unter anderem daran liegen, dass nach längerem „Nichtnutzen“ eines unverstandenen Verfahrens seine Durchführung fehleranfälliger ist, als es bei einem verstandenen Vorgehen der Fall wäre; es kann schwierig sein, „sich einige Zeit nach Erarbeitung des Algorithmus wieder an dessen Ablauf zu erinnern, bzw. ihn sich erneut zu erschließen“ (ebd. S. 164).
Schriftliche Verfahren geläufig ausführen
Wenn die schriftliche Subtraktion im dritten Schuljahr mit den Schüler*innen besprochen und geübt wird, scheint das geläufige Ausführen des Algorithmus das kleinste Problem zu sein: Fast alle Schüler*innen kommen dann mit etwas Übung zu richtigen Ergebnissen. Tatsächlich zeigt sich zu diesem Zeitpunkt sogar, dass besonders leistungsschwache Schüler*innen mit Einführung der schriftlichen Addition und Subtraktion (kurzfristige) Erfolgserlebnisse haben und wieder häufiger zu korrekten Ergebnissen kommen als noch wenige Wochen zuvor (vgl. Schipper 2009).
Dass dies so ist, kann mit den folgenden beiden Aspekten begründet werden (vgl. Schipper 2009, S. 132):
(1) Beim Nutzen des Algorithmus beschränkt sich der „Rechenaufwand“ auf den Zahlenraum bis höchstens 20. In diesem Zahlenraum kommen auch die besonders leistungsschwachen Schüler*innen in der Regel über das verfestigte zählende Rechnen zu richtigen Lösungen.
(2) Das festgelegte, immer zu wiederholende Vorgehen, das charakteristisch für den Algorithmus ist, gibt den Schüler*innen eine gewisse prozedurale Sicherheit.
Bei genauerem Hinsehen wird aber schnell deutlich, dass das geläufige Ausführen doch nicht immer sicher funktioniert: Es stimmt wohl, dass bei Aufgaben ohne Überträge oder mit nur einem Übertrag viele Schüler*innen zu richtigen Ergebnissen kommen. Sobald aber das Zahlenmaterial „anspruchsvoller“ wird (zum Beispiel, wenn mehrere Überträge zu berücksichtigen sind oder bei Nullen im Minuenden oder Subtrahenden), erhöht sich auch die Anzahl der Fehler (Jensen & Gasteiger 2019). Eine Übersicht zu den verschiedenen Fehlertypen findet sich bei Gerster 1982 und bei dem Partnerprojekt KIRA.
Vorschläge dafür wie ein Verstehen der schriftlichen Subtraktion dazu beitragen kann, das geläufige Ausführen zu stärken, finden Sie in der Rubrik Unterricht und im vorliegenden Text bei den Chancen für den inklusiven Unterricht (siehe unten).
Schriftliche Verfahren aufgabenangemessen nutzen
Nachdem die schriftlichen Verfahren im Unterricht thematisiert wurden, sollen sie „aufgabenangemessen“ genutzt werden. Das heißt, dass sie einerseits bei solchen Aufgaben eingesetzt werden, die nicht leicht im Kopf zu lösen sind und bei denen das Kopfrechnen aufgrund der Komplexität der Aufgaben fehleranfällig sein kann (zum Beispiel die Aufgaben 3 365 423 – 1 238 676 oder 7,69 € + 15,49 € + 8,29 € + 18,99 € + 6,09 €). Andererseits sollten sie nichtgenutzt werden bei Aufgaben, bei denen sich die Durchführung des Algorithmus nicht so sehr anbietet, weil dessen Durchführung den Rechenaufwand sogar noch erhöhen würde. So scheint es zum Beispiel viel einfacher und zielführender zu sein, die Aufgaben 5,00 € - 1,99 € oder 701 - 698 ohne das schriftliche Verfahren zu lösen, da man „das ja im Kopf rechnen“ bzw. „der Aufgabe das Ergebnis schon ansehen“ kann.
Es gelingt Schüler*innen aber nicht immer, das schriftliche Verfahren aufgabenangemessen zu nutzen, das heißt vor allem bei solchen Aufgaben anzuwenden, bei denen es einen echten Vorteil bieten würde (weil es schneller oder sicherer ist). So konnten verschiedene Studien zeigen, dass zum Beispiel die Aufgaben 701 – 698 oder 601 – 598 von der Mehrzahl der Kinder mit dem schriftlichen Vorgehen gelöst wurden (vgl. Selter 2000, Wartha et al. 2014). Auch bei anderen Aufgaben wie 199 + 198 oder 845 – 399 wählten Schüler*innen nach Thematisierung der schriftlichen Verfahren vor allem diese Methode – auch wenn andere möglicherweise näher liegen würden (Selter 2000). Zudem konnte gezeigt werden, dass die schriftlichen Verfahren nicht nur direkt nach der Behandlung im Unterricht bevorzugt genutzt werden, sondern auch noch lange nach der systematischen Erarbeitung – auch noch in der weiterführenden Schule (Wartha et al. 2014).
Für dieses relativ „stabile Entscheidungsmuster“ bei der Wahl der Rechenmethode (Selter 2000, S. 250) können (mindestens) zwei Gründe vermutet werden:
(1) Wie oben bereits dargestellt, erleben vor allem leistungsschwache Schüler*innen beim Nutzen des Subtraktionsalgorithmus nach langer Zeit wieder Erfolgserlebnisse im Mathematikunterricht. Doch auch die anderen Schüler*innen werden feststellen, dass das schriftliche Verfahren durchaus Vorteile bietet (Rechnen im Zahlenraum bis 20, festgelegte Prozedur) und dadurch auch Sicherheit gibt.
(2) Bei Themen, denen im Mathematikunterricht viel Zeit eingeräumt wird – also zum Beispiel der Erarbeitung und vor allem der Übung der schriftlichen Subtraktion – entwickelt sich auf Seiten der Schüler*innen zudem ein Gefühl von „sozialer Erwünschtheit“, bei dem es darum geht, einer Erwartungshaltung gerecht zu werden.
Wenn also das schriftliche Vorgehen aufgabenangemessen genutzt werden soll, sollten die Kinder durch verschiedene Aktivitäten im Unterricht immer wieder angeregt werden, gemeinsam über die „Angemessenheit“ der verschiedenen Rechenmethoden zu diskutieren (Höhtker & Selter 1999). Eine sehr gute Möglichkeit bieten hier Sortieraktivitäten zur Schulung des Zahlen- und Aufgabenblicks (Schütte 2008, Rechtsteiner-Merz 2013, 2015, speziell für das schriftliche Subtrahieren vgl. PIKAS: Flexibles Rechnen und unsere Aufgabenstellung kompakt zur schriftlichen Subtraktion). Ziel dieser Aktivitäten ist das sog. „Unterdrücken des Rechendrangs“ (vgl. Schütte 2008, Rechtsteiner-Merz 2013, 2015): Schüler*innen sollen gar nicht rechnen, sondern überlegen, WIE sie rechnen würden – schriftlich oder im Kopf oder unter Nutzung von Notizen (also gestützt bzw. „halbschriftlich“).
Chance für den inklusiven Unterricht
Im Folgenden wird der Frage nachgegangen, inwiefern die Thematisierung der schriftlichen Subtraktion auch Chancen für den inklusiven Mathematikunterricht bietet und welche Lernziele hier angestrebt werden können.
Die folgenden drei Lernziele sind unabhängig davon, welches der fünf verschiedenen Verfahren der schriftlichen Subtraktion zur Thematisierung im Unterricht ausgewählt wurde (vgl. Hintergrund: Die Verfahren im Überblick).
Strategien im Zahlenraum bis 20 erarbeiten und festigen
Wie oben bereits angesprochen, müssen beim Durchführen der schriftlichen Subtraktion „nur“ Subtraktions- bzw. Ergänzungsaufgaben im Zahlenraum bis 20 gelöst werden. Im Rahmen eines inklusiven Mathematikunterrichts kann mit bestimmten Kindern, je nach Lernausgangslage und formulierten Lernzielen, also das Rechnen im Zahlenraum bis 20 in den Blick genommen werden (vgl. PIKAS: Zieldifferent lernen im gemeinsamen Unterricht). Hierbei sollte es explizit nicht darum gehen, die einzelnen Teilrechnungen irgendwie (im ungünstigsten Fall abzählend) zu lösen. Im Gegenteil: Die im Algorithmus auftauchenden Aufgaben im Zahlenraum bis 20 sind ein willkommener Anlass, Strategien des Kopfrechnens im Zahlenraum bis 20 zu erarbeiten und zu festigen oder Zahlensätze des kleinen Einspluseins und Einsminuseins auf Verständnisgrundlage zu automatisieren.
Position der Stellenwerte klären und verinnerlichen
Der Algorithmus der schriftlichen Subtraktion funktioniert deshalb, weil hier mit einzelnen Stellenwerten operiert wird: Beginnend mit den Einern wird in jedem Stellenwert eine Subtraktions- bzw. Ergänzungsaufgabe gelöst (E – E, Z – Z, H – H usw.). Die Thematisierung der schriftlichen Subtraktion bietet somit die Möglichkeit, sich (ggf. erneut) mit der Position der einzelnen Bündelungseinheiten im Zahlzeichen zu beschäftigen. Schüler*innen können hierbei lernen, je nach Lernausgangslage und formulierten Lernzielen, dass die Bündelungseinheiten Einer, Zehner, Hunderter, Tausender usw. beim Notieren von Zahlen eine feste Reihenfolge haben und sie können diese Reihenfolge (nach rechts immer kleiner werdend) durch die Darstellung mit geeignetem Material auch verinnerlichen (vgl. Schulz 2015; Gerster und Walter 1973; van de Walle 2004, S. 165-169; vgl. auch im Bereich Stellenwertvorstellung und Material zum Stellenwertverständnis auf primakom).
Grundvorstellungen der Subtraktion vertiefen und nutzen
Bei der schriftlichen Subtraktion können zwei „Rechenrichtungen“ unterschieden werden: Das Wegnehmen und das Ergänzen. Diesen beiden Rechenrichtungen liegen zwei unterschiedliche Grundvorstellungen der Subtraktion zugrunde: Das Bestimmen einer Restmenge beim Wegnehmen und das Bestimmen eines Unterschieds beim Ergänzen (vgl. z. B. Schulz & Wartha 2021, 76, vgl. auch primakom: Operationsverständnis). Diese beiden Grundvorstellungen werden ab dem ersten Schuljahr immer wieder aufgegriffen und genutzt. Auch bei der Thematisierung der schriftlichen Subtraktion können alle Schüler*innen die entsprechende Grundvorstellung (je nach genutztem Verfahren) materialgestützt vertiefen und anwenden. Schüler*innen, die diese Grundvorstellungen im Rahmen ihres individuellen Förderplans gerade erst kennengelernt haben, können sie hier in neuem Kontext vertiefen und nutzen.
Den Algorithmus auch im Zahlenraum bis 100 nutzen
Der schriftliche Algorithmus funktioniert mit beliebig großen Zahlen – also auch mit zweistelligen Zahlen. Daher kann das Verfahren im inklusiven Mathematikunterricht auch mit zweistelligen Zahlen – also an vorstellbareren Zahlen und mit weniger Bündelungseinheiten – durchgeführt werden. Auf diese Weise können Schüler*innen einerseits entlastet werden, sie sind aber andererseits nicht befreit vom rechnenden Denken – wenn der Unterricht verstehensorientiert ausgerichtet ist. Besonders wertvoll kann in diesem Zusammenhang dann der gemeinsame Austausch über das aufgabenangemessene Nutzen des Algorithmus sein: Man kann hier schriftlich Rechnen, es ginge aber auch im Kopf.
Die folgenden Lernziele sind abhängig davon, welches der fünf verschiedenen Verfahren der schriftlichen Subtraktion zur Thematisierung im Unterricht ausgewählt wurde (vgl. Hintergrund: Die Verfahren im Überblick ).
Entbündeln verstehen und festigen (Umgang mit dem Übertrag: Entbündeln)
Das Entbündeln des Minuenden stellt eine von drei Möglichkeiten dar, mit dem Übertrag umzugehen (vgl. z. B. Schulz & Wartha 2021, S. 101, vgl. Hintergrund: Die Verfahren im Überblick). Schüler*innen, die schon sicher entbündeln und den Zusammenhang zwischen direkt benachbarten Stellenwerten sicher erkennen, können dieses Wissen beim schriftlichen Subtrahieren bereits anwenden. Die materialgestützte Thematisierung des Entbündelns als „Teilschritt“ des Verfahrens bietet aber auch allen anderen Schüler*innen die Möglichkeit, sich (ggf. erneut) mit dem Entbündeln auseinanderzusetzen: Aus wie viel Zehnern besteht eigentlich ein Hunderter, aus wie vielen Hundertern ein Tausender?
Bündeln verstehen und festigen (Umgang mit dem Übertrag beim Ergänzen mit Auffüllen bzw. Bündeln)
Eine weitere Möglichkeit des Umgangs mit dem Übertrag stellt das Ergänzen mit Auffüllen bzw. Bündeln dar ( vgl. Hintergrund: Die Verfahren im Überblick: Ergänzen mit Auffüllen bzw. Bündeln). Bei dieser Art des Übertrags wird der Subtrahend so lange aufgefüllt, bis die im Minuenden geforderte Anzahl der Bündelungseinheiten im jeweiligen Stellenwert erreicht ist. Bei der Aufgabe 517 – 253 werden an der Zehnerstelle die fünf Zehner so lange aufgefüllt bis insgesamt elf Zehner vorhanden sind. Zehn der elf Zehner müssen nun zu einem Hunderter gebündelt werden, um den einen Zehner im Minuenden zu erhalten. Dieses Verfahren (Ergänzen mit Auffüllen bzw. Bündeln) stellt also eine gute Möglichkeit dar, das Bündeln zu verstehen und zu festigen (zehn Einer werden zu einem Zehner, zehn Hunderter werden zu einem Tausender …).
Die Konstanz der Differenz verstehen und nutzen (Umgang mit dem Übertrag: Erweitern)
Die dritte Möglichkeit mit dem Übertrag umzugehen ist das gleichsinnige Verändern (auch Erweitern genannt; vgl. Hintergrund: Die Verfahren im Überblick ). Beim Erweitern wird die Konstanz der Differenz genutzt: Bei der Aufgabe 517 – 253 ist die Bestimmung der (positiven) Differenz von einem Zehner im Minuenden und fünf Zehnern im Subtrahenden nicht möglich (ein Zehner minus fünf Zehner „geht“ im Bereich der natürlichen Zahlen nicht). Werden sowohl Minuend und Subtrahend um den gleichen Wert verändert, also gleichsinnig verändert, ändert sich die Differenz der beiden Zahlen nicht (vgl. z. B. Schulz 2020, 15; vgl. auch PIKAS: Hamstern und Das Zahlenbuch: Mit Zahlen spielen: „Wer hat mehr?“). Wenn nun also zur 517 zehn Zehner dazugegeben werden und gleichzeitig zur 253 ein Hunderter (der ja aus zehn Zehnern besteht), wird einerseits das Ausrechnen der Teilaufgabe elf Zehner minus fünf Zehner ermöglicht, und andererseits bleibt die Differenz der beiden beteiligten Zahlen gleich. Das sog. Erweitern bietet also eine hervorragende Möglichkeit einer (erneuten) Thematisierung des grundlegenden Konzepts der Konstanz der Differenz – durchaus auch in kleinen Zahlenräumen.
