Die Verfahren im Überblick

 

Das Abziehen mit Entbündeln

Beim Abziehen mit dem Entbündeln als Möglichkeit des Übertrags wird der Minuend betrachtet, von dem der Subtrahend abgezogen wird. Mein Vorschlag: Es wird zunächst der Minuend mit Material gelegt: fünf Hunderterplatten, sieben Zehnerstangen und zwei Einerplättchen.

Von 572 sollen 149 weggenommen werden. Betrachtet man zuerst die Einerstelle fällt auf, dass hier der Einer des Subtrahenden größer ist als der Einer des Minuenden. Da von der Zwei die Neun nicht ohne Weiteres weggenommen werden können, muss ein Zehner des Minuenden zu zehn Einern entbündelt werden.

Anhand des Materials wird eine Zehnerstange entbündelt, indem diese weggelegt wird und zehn Einerplättchen zu den zwei Einerplättchen hinzugelegt werden.

In der Stellentafel werden die entbündelten zehn Einer über dem Einer des Minuenden notiert. Nun sind es nicht mehr zwei Einer, sondern zwölf Einer.

Der dafür entbündelte Zehner wird in der Stellentafel dadurch kenntlich gemacht, dass die vorher vorhandene Ziffer 7 durchgestrichen wird und darüber die Ziffer 6 notiert wird, die durch nach dem Entbündeln die verbliebene Anzahl an Zehnerstangen abbildet.

Von den zwölf Einern des Minuenden können nun die neun Einer des Subtrahenden abgezogen werden. Von den zwölf Einerplättchen werden neun weggenommen und es bleiben drei Einer liegen. Somit kann eine 3 an der Einerstelle der Stellentafel notiert werden.

Nun werden die Zehner betrachtet. Durch das vorherige Entbündeln sind es nicht mehr sieben Zehner, sondern sechs Zehner. Von diesen sechs Zehnern sollen nun vier Zehner abgezogen werden. Dies ist ohne Entbündeln möglich.

Von den sechs Zehnerstangen werden weiterhin vier weggenommen und es bleiben zwei Zehnerstangen übrig. Die 2 kann an die Zehnerstelle der Stellentafel notiert werden.

Nun werden die Hunderter betrachtet. Von den fünf Hundertern des Minuenden soll ein Hunderter des Subtrahenden abgezogen werden.

Von den fünf Hunderterplatten wird eine weggenommen und es bleiben vier Hunderterplatten liegen. Die 4 kann an die Hunderterstelle der Stellentafel notiert werden.

Nachdem der Subtrahend vom Minuenden abgezogen wurde, lässt sich anhand des übrig gebliebenen Materials das Ergebnis ablesen. Vier Hunderterplatten, zwei Zehnerstangen und drei Einerplättchen stellen die Differenz 423 dar. In der Stellentafel lässt sich unter dem Trennstrich ebenfalls das Ergebnis 423 ablesen.

Das Ergänzen mit Erweitern

Beim Ergänzen wird der Subtrahend stellenweise so lange ergänzt, bis er den gleichen Wert wie der Minuend hat. Auf der Handlungsebene wird also zum Subtrahenden so lange etwas dazugelegt, bis der Wert des Minuenden erreicht ist. Um dabei ggf. erweitern bzw. gleichsinnig verändern zu können, ist es auf der Handlungsebene sinnvoll, beide Zahlen mit Material darzustellen (vgl. Schulz & Wartha 2021, S. 107).

Es werden also zunächst fünf Hunderterplatten, sieben Zehnerstangen und zwei Einerplättchen für den Minuenden gelegt. Für den Subtrahenden werden eine Hunderterplatte, vier Zehnerstangen und neun Einerplättchen gelegt.

Betrachtet man die Einerstelle, so muss überlegt werden, wie viele Einer zu den neun Einern des Subtrahenden ergänzt bzw. hinzugefügt werden müssen, damit es zwei Einer (Minuend) werden. Dies ist ohne Weiteres nicht möglich.

Daher werden zum Minuenden zehn zusätzliche Einer hinzugefügt und zum Subtrahenden ein zusätzlicher Zehner (die Zahlen werden gleichsinnig verändert). Dadurch bleibt die Differenz unverändert (572-149 ergibt das Gleiche wie 582-159).

Mit dem Material wird dies durch das Hinzufügen von zehn Einerplättchen zum Minuenden und das Hinzufügen einer Zehnerstange zum Subtrahenden dargestellt.

In der Stellentafel wird an der Einerstelle des Minuenden daher eine kleine 10 notiert, während beim Subtrahenden an der Zehnerstelle eine kleine 1 notiert wird.

An der Einerstelle des Minuenden sind nun zwölf, statt zwei Einerplättchen. Jetzt können zu den neun Einerplättchen im Subtrahenden drei Plättchen dazugelegt bzw. ergänzt werden, damit es auch zwölf Plättchen sind (9+3=12). Die 3 wird in der Stellentafel an der Einerstelle notiert.

Nun werden die Zehner betrachtet. Die vier Zehner des Subtrahenden wurden im vorherigen Schritt durch einen Zehner erweitert, sodass es nun fünf Zehner sind.

Zu den fünf Zehnerstangen müssen nun zwei Zehnerstangen dazugelegt, also ergänzt werden, um die sieben Zehnerstangen des Minuenden zu erhalten. Die 2 kann in der Stellentafel an der Zehnerstelle notiert werden.

Im nächsten Schritt werden die Hunderter betrachtet.

Zu der einen Hunderterplatte des Subtrahenden werden noch vier Hunderterplatten dazugelegt bzw. ergänzt, um die gewünschten fünf Hunderterplatten im Minuenden zu erhalten. Die 4 kann in der Stellentafel an der Hunderterstelle notiert werden.

Nachdem Subtrahend und Minuend gleichsinnig verändert und der Subtrahend stellenweise zum Minuenden ergänzt wurde, lässt sich anhand des dazugelegten Materials, hier in Rot dargestellt, die Differenz ablesen. Vier Hunderterplatten, zwei Zehnerstangen und drei Einerplättchen stellen die Differenz 423 dar.

In einer Unterrichtssituation ist es sinnvoll, das Material, das ergänzt wurde, etwas entfernt oder auf eine andere Unterlage zu legen, so dass am Ende der Handlung das ergänzte Material gut erkennbar ist (vgl. Schulz & Wartha 2021, S. 107ff.)

Das Ergänzen mit Bündeln (das sog. Auffüllen)

Auch beim Ergänzen mit Bündeln wird der Subtrahend stellenweise so lange ergänzt, bis der Wert des Minuenden erreicht wird. Während allerdings beim Ergänzen mit Erweitern sowohl der Minuend als auch der Subtrahend bei möglichen Überträgen gleichsinnig verändert werden, bleibt hier der Minuend unverändert; beim sog. Auffüllen wird nur der Subtrahend bei Bedarf gebündelt.

Daher bietet es sich an, zunächst nur den Subtrahenden mit Material zu legen. Dementsprechend werden hier eine Hunderterplatte, vier Zehnerstangen und neun Einerplättchen gelegt. Die 149 im Subtrahenden wird stellenweise und beginnend bei den Einern so lange ergänzt, bis der Gesamtwert des Minuenden erreicht wird.

Um die gelegten neun Einer zu zwei Einern zu ergänzen, werden die neun Einer aufgefüllt, bis es zwölf Einer sind. Dazu müssen drei Einerplättchen hinzugefügt werden. In der Stellentafel kann die 3 an die Einerstelle eingetragen werden.

Nun liegen in der Einerspalte durch das Ergänzen zwölf Einerplättchen, von denen zehn Einer zu einer Zehnerstange gebündelt werden müssen. In der Stellentafel wird daher an der Zehnerstelle des Subtrahenden eine kleine 1 notiert. Die geforderten zwei Einerplättchen (Einerstelle des Minuenden) bleiben an der Einerstelle liegen.

Nun werden die Zehner betrachtet. Durch das Bündeln der zehn Einer zu einem Zehner sind jetzt fünf (und nicht mehr vier) Zehnerstangen vorhanden. Diese fünf Zehner müssen nun so lange aufgefüllt werden, bis es sieben Zehner (im Minuenden vorgegeben) sind.

Auf der Handlungsebene werden also zwei Zehnerstangen dazugelegt, in der Rechnung wird in der Ergebniszeile eine 2 an der Zehnerstelle eingetragen.

Im nächsten Schritt werden die Hunderter betrachtet. Der eine Hunderter des Subtrahenden wird auf fünf Hunderter aufgefüllt, indem noch vier Hunderter ergänzt werden; die 4 kann in der Stellentafel an der Hunderterstelle notiert werden.

Nachdem der Subtrahend stellenweise ergänzt wurde, lässt sich anhand des hinzugefügten Materials die Differenz erkennen, hier in Rot dargestellt: Vier Hunderterplatten, zwei Zehnerstangen und drei Einerplättchen stellen die Differenz 423 dar. In der Stellentafel lässt sich unter dem Trennstrich ebenfalls das Ergebnis 423 ablesen. Mit konkret vorliegendem Material kann durch den Bündelungsprozess das Erkennen des Ergebnisses erschwert werden. Hier kann entweder farbiges Material helfen (wie in den Abbildungen) oder auch hier kann versucht werden, die dazugelegte Differenz mit etwas Abstand zu legen.

Das Ergänzen mit Entbündeln und das Abziehen mit Erweitern sind zwei Verfahren, die möglich sind, jedoch in der Praxis seltener genutzt werden (vgl. Schulz & Wartha, 2021, S.100). Der Vollständigkeit halber werden sie im Folgenden ebenfalls vorgestellt.

Das Ergänzen mit Entbündeln

Beim Ergänzen wird der Subtrahend stellenweise so lange ergänzt, bis er den gleichen Wert wie der Minuend hat. Auf der Handlungsebene wird also zum Subtrahenden so lange etwas dazugelegt, bis der Wert des Minuenden erreicht ist. Um dabei sowohl das Entbündeln im Minuenden bei möglichen Überträgen als auch das Ergänzen des Subtrahenden nachvollziehen zu können, ist es auf der Handlungsebene sinnvoll, beide Zahlen mit Material darzustellen.

Es werden also zunächst fünf Hunderterplatten, sieben Zehnerstangen und zwei Einerplättchen für den Minuenden gelegt. Für den Subtrahenden werden eine Hunderterplatte, vier Zehnerstangen und neun Einerplättchen gelegt.

Betrachtet man die Einerstelle, so muss überlegt werden, wie viele Einer zu den neun Einern des Subtrahenden ergänzt bzw. hinzugefügt werden müssen, damit es zwei Einer (Minuend) werden. Dies ist nicht ohne Weiteres möglich.

Daher wird ein Zehner des Minuenden zu zehn Einern entbündelt. Mit dem Material wird dieses Entbündeln dargestellt, indem eine Zehnerstange weggelegt wird und zehn Einerplättchen zu den zwei Einerplättchen hinzugelegt werden. In der Stellentafel werden die entbündelten zehn Einer über den Einern des Minuenden notiert. Nun sind es nicht mehr zwei Einer, sondern zwölf Einer.

Das Entbündeln des Zehners wird in der Stellentafel dadurch kenntlich gemacht, dass die vorher vorhandene Ziffer 7 durchgestrichen wird und darüber die Ziffer 6 notiert wird, die die noch verbliebenen Zehner darstellt.

An der Einerstelle des Minuenden sind nun zwölf, statt zwei Einerplättchen, und jetzt können zu den neun Einerplättchen im Subtrahenden drei Plättchen dazugelegt und somit ergänzt werden, damit es ebenfalls zwölf Plättchen sind (9+3=12). Die 3 wird in der Stellentafel an der Einerstelle notiert.

Nun werden die Zehner betrachtet. Durch das vorherige Entbündeln sind es nicht mehr sieben, sondern sechs Zehner. Zu den vier Zehnern des Subtrahenden müssen zwei ergänzt werden, um die sechs Zehner des Minuenden zu erhalten. Dies ist ohne Entbündeln möglich.

Zu den vier Zehnerstangen müssen nun zwei Zehnerstangen dazugelegt bzw. ergänzt werden, damit die sechs Zehnerstangen (vorher sieben Zehnerstangen) des Minuenden erreicht werden. Die 2 kann in der Stellentafel an der Zehnerstelle notiert werden.

Im nächsten Schritt werden die Hunderter betrachtet.

Zu dem einen Hunderter des Subtrahenden müssen noch vier Hunderter ergänzt werden, um die fünf Hunderter des Minuenden zu erhalten.

Zu dem einen Hunderter des Subtrahenden werden noch vier Hunderter dazugelegt bzw. ergänzt, um die gewünschten fünf Hunderter im Minuenden zu erhalten. Die 4 kann in der Stellentafel an der Hunderterstelle notiert werden.

Nachdem der Minuend (der nächstgrößere Stellenwert für den nächstkleineren Stellenwert) entbündelt und der Subtrahend stellenweise zum Minuenden ergänzt wurde, lässt sich anhand des dazugelegten Materials, hier in Rot dargestellt, die Differenz ablesen. Vier Hunderterplatten, zwei Zehnerstangen und drei Einerplättchen stellen die Differenz 423 dar. In einer Unterrichtssituation ist es sinnvoll, das Material, das ergänzt wurde, etwas entfernt oder auf eine andere Unterlage zu legen, so dass am Ende der Handlung das ergänzte Material gut erkennbar ist (vgl. Schulz & Wartha 2021, S. 107ff.).

Das Abziehen mit Erweitern

Beim Abziehen mit dem Erweitern als Möglichkeit des Übertrags wird die Differenz durch das Wegenehmen des Subtrahenden vom Minuenden bestimmt. Dafür werden, wenn nötig, sowohl Minuend als auch Subtrahend gleichsinnig verändert bzw. erweitert.

Auf der Handlungsebene ist es aufgrund des gleichsinnigen Veränderns sinnvoll, beide Zahlen mit Material darzustellen, denn beim gleichsinnigen Verändern müssen sowohl der Minuend als auch der Subtrahend verändert werden. Das kann nur dann gut veranschaulicht werden, wenn beide Zahlen mit Material dargestellt werden (vgl. Schulz & Wartha 2021, S. S.105). Um dann das Abziehen als Materialhandlung durchzuführen, wird dann vom Minuenden genau so viel weggenommen, wie im Subtrahenden liegt. Dieses „doppelte Wegnehmen“ sollte dann im Unterricht thematisiert werden (s. u.). 

Für das Abziehen mit Erweitern werden also zunächst fünf Hunderterplatten, sieben Zehnerstangen und zwei Einerplättchen für den Minuenden gelegt. Für den Subtrahenden werden eine Hunderterplatte, vier Zehnerstangen und neun Einerplättchen gelegt.

Betrachtet man zuerst die Einerstelle fällt auf, dass hier der Einer des Subtrahenden größer ist als der Einer des Minuenden. Da von der Zwei die Neun nicht ohne Weiteres weggenommen werden können, müssen beide Zahlen gleichsinnig verändert werden.

Daher werden zum Minuenden zehn zusätzliche Einer hinzugefügt und zum Subtrahenden ein zusätzlicher Zehner (die Zahlen werden gleichsinnig verändert). Dadurch bleibt die Differenz unverändert (572-149 ergibt das Gleiche wie 582-159).

Mit dem Material wird dies durch das Hinzufügen von zehn Einerplättchen zum Minuenden und das Hinzufügen von einer Zehnerstange zum Subtrahenden umgesetzt.

In der Stellentafel wird an der Einerstelle des Minuenden daher eine kleine 10 notiert, während beim Subtrahenden an der Zehnerstelle eine kleine 1 notiert wird.

Von den zwölf Einern des Minuenden können nun die neun Einer des Subtrahenden abgezogen werden. Auf der Handlungsebene müssen von den zwölf Einerplättchen des Minuenden genau so viele Plättchen weggenommen werden, wie im Subtrahenden liegen, nämlich neun. Gleichzeitig werden auch die neun Einer des Subtrahenden weggelegt – diese lagen dort ja nur als Merkhilfe: „So viel musst du gleich wegnehmen.“. Nach dem Wegnehmen bleiben drei Einer übrig. Die 3 kann an die Einerstelle der Stellentafel notiert werden.

Nun werden die Zehner betrachtet. Die vier Zehner des Subtrahenden wurden im vorherigen Schritt durch das gleichsinnige Verändern um einen Zehner erweitert, sodass nun fünf Zehner vorhanden sind. Von den sieben Zehnern sollen nun fünf Zehner abgezogen werden. Dies ist ohne Erweitern möglich.

Von den sieben Zehnerstangen im Minuenden werden nun genau so viele Zehnerstangen weggenommen, wie im Subtrahenden liegen, nämlich fünf. Und auch die fünf Zehnerstangen im Subtrahenden können jetzt entfernt werden. Insgesamt bleiben an der Zehnerstelle nun zwei Zehnerstangen liegen. Die 2 kann an die Zehnerstelle der Stellentafel notiert werden.

Nun werden die Hunderter betrachtet. Von den fünf Hundertern des Minuenden soll ein Hunderter des Subtrahenden abgezogen werden. Das ist ohne Erweitern möglich.

Von den fünf Hunderterplatten im Minuenden werden genauso viele Hunderterplatten weggenommen, wie im Subtrahenden liegen, nämlich eine. Auch die Hunderterplatte im Subtrahenden kann jetzt entfernt werden, so dass insgesamt nur vier Hunderterplatten liegenbleiben. Die 4 kann an die Hunderterstelle der Stellentafel notiert werden.

Der Minuend 572 wurde um den Subtrahenden 149 verringert, indem von 572 in jeder Stelle genauso viel weggenommen wurde, wie bereits im Subtrahenden lag. Das Ergebnis ist dann das, was von 572 nach dem gleichsinnigen Verändern und dem Wegnehmen noch liegen bleibt.

Nachdem der Subtrahend vom Minuenden abgezogen wurde, lässt sich anhand des übrig gebliebenen Materials das Ergebnis ablesen. Vier Hunderterplatten, zwei Zehnerstangen und drei Einerplättchen stellen die Differenz 423 dar. In der Stellentafel lässt sich unter dem Trennstrich ebenfalls das Ergebnis 423 ablesen.