Größenvorstellungen
Bezogen auf den Bereich „Größen und Messen“ stellt neben dem Umgang mit Größen in Sachsituationen das Verfügen über Größenvorstellungen die wichtigste Zielsetzung dar.
Doch was wird – mit Blick auf die Größe Geld – genau unter Größenvorstellungen verstanden und welche schulischen Möglichkeiten in Bezug auf den Aufbau und die Entwicklung von Größenvorstellungen in diesem Bereich gibt es?
Neben einer auf den Größenbereich Geldwerte bezogenen Erläuterung und Darstellung der Kernkompetenz werden unter Bezug auf die fachlichen und fachdidaktischen Grundlagen im Folgenden Möglichkeiten aufgezeigt, wie Größenvorstellungen im Unterricht entwickelt und aufgebaut werden können.
Über Größenvorstellungen verfügen
Das Verfügen über Größenvorstellungen beinhaltet grundsätzlich verschiedene Teilkompetenzen (vgl. KMK, 2004; vgl. auch Teilmodul „Hintergrund“).
Zentral ist dabei das Verfügen über Grundvorstellungen zu Größenangaben (sogenannte Stützpunktvorstellungen). Kinder müssen eine Vielzahl an Repräsentanten eines Größenbereichs kennen, zu denen sie die passende Größenangabe angeben können. Gleichzeitig müssen sie zu gegebenen Größenangaben passende Repräsentanten kennen.
Größenvorstellungen müssen sowohl „inhaltsreich und bildlich fassbar“, gleichzeitig aber auch „vage und unpräzise sein“ (Peter-Koop & Nührenbörger, 2008, S. 94), denn nur dann können sie im Alltag flexibel genutzt werden, um realistische Schätzungen abgeben oder Problemstellungen lösen zu können.
Betrachtet man den Größenbereich Geldwerte, dann müssen bei der Konkretisierung der Teilkompetenzen die Besonderheiten des Größenbereichs beachtet werden (vgl. hierzu Hintergrund: Besonderheiten Geldwerte). So gelten beispielsweise neben den Münzen und Scheinen auch Preise von Waren als mögliche Repräsentanten.
Münzen und Scheine als Repräsentanten
Während in den Größenbereichen Längen, Gewichte, Zeitspannen oder Rauminhalte konkrete Messungen durchgeführt werden können, ist in Bezug auf den Größenbereich Geldwerte das Arbeiten mit (standardisierten) Messgeräten „nicht im üblichen Sinne relevant.
Hier ist die Fähigkeit des Wechselns von Geldbeträgen eine tragende Komponente für den Verständnisprozess zur Entwicklung von Größenvorstellungen dieser Größenart“ (Grassmann et al., 2008, S. 58).
Verfügt jemand über Größenvorstellungen im Bereich Geld, dann bedeutet das somit einerseits, dass er über Kenntnisse in Bezug auf Münzen und Scheine verfügt, dass er Geldbeträge wechseln und auf verschiedene Weise darstellen kann oder dass er z.B. bei einer gegebenen Münzkollektion zwischen Anzahl und Wert der Münzen unterscheiden kann (vgl. Cless, 2013; Peter-Koop & Nührenbörger, 2008).
Anregungen und Unterrichtsideen zum Wechseln und Darstellen von Geldbeträgen finden Sie unter Unterricht: Lege anders.
Preise von Waren als Repräsentanten
Andererseits bedeutet das Verfügen über Größenvorstellungen im Größenbereich Geldwerte aber auch, dass beispielsweise Preise von Waren realistisch eingeschätzt werden können. Wird in Bezug auf die Größe Geld von Größenvorstellungen gesprochen, dann sind oft Wertvorstellungen gemeint:
Kinder sollten wissen, welche Waren man für beispielsweise für 1€, für 10€ oder 100€ kaufen kann.
Gleichzeitig geht es um das Kennen und realistische Einschätzen von Preisen: Wie viel Geld kostet eine Kugel Eis? Wie teuer ist ein Fahrrad, ein Fußball oder ein Buch ungefähr? Wie viel Geld muss ich bezahlen, wenn ich in das Schwimmbad möchte?
Zugleich muss das Stützpunktwissen im Alltag flexibel und situationsabhängig eingesetzt werden können: Wie exakt muss beispielsweise der Wert einer Ware angegeben werden? Genügt eine ungefähre Preisangabe oder wird eine genaue Angabe des Preises verlangt?
Repräsentanten können dann herangezogen und genutzt werden, um Preise und Waren miteinander zu vergleichen oder auch, um Preise von Waren schätzen zu können.
Stützpunktvorstellungen sollten sowohl zu den Standardeinheiten Euro und Cent sowie zu den Vielfachen und Teilen der Standardeinheiten entwickelt werden.
Während bei den anderen Größenbereichen wie Längen oder Gewichten Repräsentanten oft einer genauen Größenangabe zugeordnet werden können (z.B. 1 m – Türbreite im Klassenzimmer oder 1 kg – eine Packung Milch) ist eine solch genaue Zuordnung für den Größenbereich Geldwerte nicht möglich, denn die Preise von Waren sind von unterschiedlichen Faktoren abhängig und unterliegen Schwankungen.
Dieses muss allerdings kein Nachteil sein. Die Genauigkeit, die in Bezug auf die Zuordnung von Größenangaben zu Repräsentanten manchmal in anderen Größenbereichen zu finden ist, hält oft weder der Realität stand, noch ist sie zielführend.
So findet man als Repräsentanten für die Standardeinheit 1 g beispielsweise die Angabe: 1 (volle) Tintenpatrone.
Im Handel gibt es jedoch verschiedene Größen von Tintenpatronen, so dass die Gewichtsangabe von 1 g hier nur als ungefähre Angabe betrachtet werden kann. Es erscheint deshalb sinnvoll, „eigene spezifische Objekte als Repräsentanten zu nutzen [...] oder aber zu Repräsentanten möglichst enge Intervalle angeben bzw. Ober- und/ oder Untergrenzen der Größen zu kennen“ (Franke & Ruwisch, 2010, S. 238).
Im Folgenden finden sich Beispiele für sinnvolle Stützpunktvorstellungen im Größenbereich Geldwerte. Angesprochen werden können und sollten neben den Preisen für Dinge des täglichen Bedarfs (z.B. Preis eines Brötchens oder einer Zahnbürste) auch die Preise von Dingen, die für die Kinder von persönlicher Bedeutung sind (z.B. Spielzeuge, Computer, Sammelkarten etc.).
Wichtig kann es hier auch sein, direkte Beziehungen zwischen den Preisen verschiedener Waren herzustellen. So kosten beispielsweise 10 Kugeln Eis ungefähr soviel wie ein Taschenbuch.
Grundsätzlich gilt, dass die Kinder bei der Auswahl der Repräsentanten beteiligt werden können und sollten. Beachtet werden muss in diesem Zusammenhang immer der soziale und kulturelle Kontext der Kinder (vgl. Franke & Ruwisch, 2010; Grassmann et al., 2008; Peter-Koop & Nührenbörger, 2008).
Weniger als 10 Cent:
einmal das WC spülen, Bonbon, 10 Liter kaltes Wasser aus dem Hahn, ...
10 ct bis 1€:
Kugel Eis, Briefmarke für einen Brief oder eine Postkarte, Bleistift, Brötchen, ...
1 € bis 5€:
Zeitschrift, Schulheft, Spielzeugauto (klein), Zahnbürste, ...
5€ bis 10€:
kleine Playmobilfigur, Taschenbuch, Wasserfarbkasten, Eintritt in das Schwimmbad, ...
10€ bis 50€:
Gesellschaftsspiel, Hose, Pullover, Inliner, Eintritt für eine Person in einen Freizeitpark, ...
50€ bis 100€:
Roller, Tornister, Jacke, ...
100€ bis 500€:
Fahrrad, Spielekonsole, Bett, ...
1000€ bis 10 000€:
Motorroller, ...
10 000€ bis 100 000€:
Auto, ...
mehr als 100 000€:
Haus, ...
(vgl. Peter-Koop & Nührenbörger, 2008)
Größenvorstellungen aufbauen
Traditionell erfolgt die Einführung in einen Größenbereich auf der Basis der sogenannten „Stufenfolge“.
In der aktuellen Mathematikdidaktik wird eine strenge Einhaltung des Stufenmodells aus verschiedenen Gründen allerdings kritisch gesehen und tritt hinter einem Lernen in Sinnzusammenhängen unter Berücksichtigung des jeweiligen Vorwissens und der Vorerfahrungen zurück.
Kritisiert wird insbesondere, dass weder die individuellen Lernwege der Kinder Beachtung finden, noch die Kenntnisse der Kinder über Messprozesse, über die standardisierten Einheiten oder über Messinstrumente berücksichtigt und einbezogen werden.
Hinzu kommt, dass durch das Messen mit willkürlichen Maßeinheiten bei den Kindern Fehlvorstellungen entstehen können.
Negativ gesehen wird auch die Kleinschrittigkeit, mit der in verschiedenen Lehrwerken die Stufenfolge bei der Einführung in einen Größenbereich abgearbeitet wird. Ein Lernen in Zusammenhängen, ein Verknüpfen und die Parallelisierung grundlegender Vergleichs- und Messaktivitäten wird so verhindert.
In Bezug auf die Größe Geld ist ergänzend anzumerken, dass sich aufgrund der Besonderheiten des Größenbereichs ohnehin Schwierigkeiten bei der Anwendung des Stufenmodells ergeben. So können Geldbeträge bzw. Preise von Waren beispielsweise nicht wie andere Größen „gemessen“ werden und es gibt demzufolge auch keine klassischen Messgeräte (vgl. Grassmann et al., 2008; Nührenbörger, 2013).
Aufgrund der spezifischen Besonderheiten des Größenbereichs und auf der Grundlage der Ergebnisse zu den Vorkenntnissen der Schulfanfänger (vgl. Hintergrund: Vorkenntnisse Geldwerte) entwickelten Grassmann et al. (2008) in Anlehnung an die von Nührenbörger (2002) herausgestellten Bausteine eines Konzeptes für "Längen" ein Größenkonzept für den Bereich Geldwerte.
Besonders hervorgehoben wird in diesem Modell, dass für den Aufbau von Größenvorstellungen die vielfältige Beschäftigung mit dem Themenbereich Geld, beispielsweise der Erwerb von Kenntnissen über unser Münz- und Scheinsystem, der Vergleich und das Wechseln von Geldbeträgen, der Vergleich von Geldwerten bei Preisen oder das Rechnen mit Geld von grundlegender Bedeutung ist.
Grassmann et al. beschreiben ihr Modell als ein Phasenmodell: „Bleiben wir bei der Zusammenfassung der Bausteine in Phasen, die aufeinander aufbauen, nicht linear durchlaufen werden müssen und nicht streng voneinander zu trennen sind, so können folgende Phasen beschrieben und in dem vorliegenden Modell veranschaulicht werden“ (Grassmann et al., 2008, S. 59; vgl. Franke & Ruwisch, 2010).
Deutlich wird, dass verschiedene Aspekte beachtet werden müssen, damit der Aufbau tragfähiger Größenvorstellungen im Mathematikunterricht gelingt und Lernprozesse gezielt unterstützt werden können.
Diese werden im Folgenden ausführlich dargestellt.
An Vorkenntnissen anknüpfen und in Sachsituationen einbetten
Von grundlegender Bedeutung ist der Einbezug von und das Anknüpfen an das Vorwissen der Kinder.
Vor der Beschäftigung mit dem Größenbereich Geldwerte müssen die Vorkenntnisse und Vorerfahrungen der Kinder erhoben werden. Hier bieten sich diagnostische Gespräche oder auch kleinere schriftliche Lernstandserhebungen an.
Informationen und Beispiele für diagnostische Gespräche finden Sie auch in der Rubrik Leitideen unter Diagnosegeleitet fördern: Diagnosegespräche und Fördergespräche
Während des Unterrichts sollten die Kinder ausreichend Gelegenheit erhalten, ihr Wissen und ihre Vorerfahrungen einzubringen (z.B. Münzen und Scheine zeichnen lassen – von Einkaufserfahrungen berichten lassen, Taschengeld etc.).
Zugleich sollte die unterrichtliche Behandlung der Thematik grundsätzlich eingebettet sein in alltagsnahe und für alle Kinder bedeutsame und sinnstiftende Sachsituationen. Das heißt auch, dass in der Schule möglichst vielfältige alltagsnahe Situationen genutzt oder hergestellt werden müssen.
So erhalten zudem die Kinder, die nur über wenige Vorerfahrungen verfügen, während der Unterrichtszeit die Gelegenheit, weitere Erfahrungen im Umgang mit Geld zu sammeln.
Weitergehende Informationen hierzu und Ideen, wie im Unterricht alltagsnahe Erfahrungen vermittelt werden können, finden Sie unter Unterricht: Pausenkiosk.
Münzen und Scheine untersuchen
Wichtig ist zunächst, dass die Kinder die Standardeinheiten Euro und Cent kennenlernen, sich mit den existierenden Münzen und Scheinen auseinandersetzen und mit der Stückelung unseres Geldes vertraut werden. Das heißt, dass die einzelnen Münzen und Scheine miteinander verglichen, geordnet bzw. sortiert und in Beziehung zueinander gesetzt werden.
Anregungen für den Unterricht:
Einen möglichen Einstieg in den Größenbereich Geldwerte bietet das Untersuchen der verschiedenen Münzen und Scheine. Neben dem üblichen Spielgeld aus Papier oder Plastikmünzen sollte immer auch echtes Geld zur Verfügung stehen:
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Die Kinder zeichnen die ihnen bekannten Scheine und Münzen auf, sie erstellen eine Münzfrottage, stempeln oder kleben Spielgeld aus Papier.
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Münzen und Scheine (echtes Geld!) werden gemeinsam betrachtet; die Münzen werden beschrieben (Vorder- und Rückseite); charakteristische Merkmale, Gemeinsamkeiten und Unterschiede und die Geldwerte der Münzen und Scheine (Größe, Prägung, Farbgebung, etc.) werden in den Blick genommen, verglichen und gemeinsam besprochen.
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Die Kinder sortieren Münzen und Scheine nach Euro und Cent oder nach dem Geldwert.
Kinder mit Sehbehinderungen:
Für Kinder mit Sehbehinderungen entfallen häufig visuelle Merkmale, um die verschiedenen Münzen und Scheine zu unterscheiden. Wichtig ist in diesem Zusammenhang, dass die Kinder (auch außerschulische) Unterstützung erhalten und lernen, Münzen und Scheine haptisch zu unterscheiden.
Gleichzeitig können blinde Kinder im Unterricht und bei der Unterscheidung der Geldstücke und -scheine zunächst unterstützt werden, indem auf diese Brailleziffern geklebt werden (vgl. Leuders, 2012).
Geldbeträge bestimmen, darstellen, vergleichen und wechseln
Kinder müssen zum einen Geldbeträge bestimmen können (d.h. den Betrag einer gegebenen Kollektion von Münzen und Scheinen ermitteln können), insbesondere aber auch Geldbeträge unterschiedlich darstellen und Beträge wechseln können.
Es geht somit um die Entwicklung des Verständnisses, dass sich ein Geldbetrag aus unterschiedlichen Münzen und / oder Scheinen zusammensetzen lässt.
Gleichzeitig muss die Frage nach dem Wert der Scheine und Münzen sowie die Unterscheidung zwischen Anzahl und Wert in den Blick genommen werden: Es kommt nicht auf die Anzahl der Münzen oder auf die Größe einer Münze an, sondern auf deren Wert (vgl. Peter-Koop & Nührenbörger, 2008).
Anregungen für den Unterricht:
Beispiel 1: Die Kinder erhalten eine Kollektion von Münzen und / oder Scheinen.
Abbildung 1
Anschließend bestimmen die Kinder den Betrag der gegebenen Kollektion von Münzen und / oder Scheinen. Hier können verschiedene Vorgehensweisen entwickelt und mit den Kindern thematisiert werden.
Mögliche Sortierung (1): Die Münzen und Scheine werden nach Wert geordnet.
Abbildung 2
Mögliche Sortierung (2): Die Menge an Münzen wird in überschaubare Teilmengen zerlegt.
Abbildung 3
Beispiel 2: Vorgegeben wird eine bestimmte Anzahl an Münzen. In der Geldbörse sind 2 Münzen. Welche Münzen (welcher Betrag) kann es sein?
Abbildung 4 (vgl. Nührenbörger & Pust, 2006)
Weitere Anregungen und Unterrichtsideen zum Wechseln, Darstellen, Bestimmen, und Sortieren von Geldbeträgen finden Sie unter Unterricht: Lege anders.
Stützpunktvorstellungen entwickeln
Sowohl zu den Standardeinheiten Euro und Cent sowie zu Vielfachen und Teilen der Standardeinheiten des Größenbereichs Geldwerte sollten die Kinder Stützpunktvorstellungen entwickeln.
Als Repräsentanten können zum einen Objekte des täglichen Bedarfs dienen, zum anderen Objekte, die für die Kinder eine persönliche Bedeutung haben. Zudem ist es insbesondere für den Größenbereich Geldwerte sinnvoll, zu den Repräsentanten Preisintervalle anzugeben (vgl. hierzu Abschnitt: Über Größenvorstellungen verfügen).
Anregungen für den Unterricht:
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Wichtig ist es, alle Kinder an der Auswahl möglicher Repräsentanten zu beteiligen.
Diese können individuell verschieden sein.
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Eine Veranschaulichung der Stützpunktvorstellungen kann über Plakate oder individuelle "Repräsentantenhefte" erfolgen, auf bzw. in denen Repräsentanten für bestimmte Preisintervalle angegeben oder dargestellt werden. Auch Ausstellungstische, auf denen Waren ausgestellt werden, die bestimmten Preisintervallen zugeordnet werden können, dienen der Veranschaulichung von Stützpunktvorstellungen.
Besprochen werden muss in diesem Zusammenhang auch, wie die Waren auf den Plakaten abgebildet werden können. Für den Größenbereich Längen wird direkt deutlich, warum bei den Abbildungen die Repräsentanten beispielsweise in Originalgröße oder maßstabsgetreu dargestellt werden sollten. Aber auch bei den Abbildungen von Repräsentanten für den Größenbereich Geldwerte muss darauf geachtet werden, dass beispielsweise ein echtes Auto von einem Spielzeugauto deutlich unterschieden werden kann. Hier muss gemeinsam mit den Schülern nach Lösungen gesucht werden.
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Sinnvoll kann es auch sein, ein Objekt nicht nur als Repräsentanten für einen Größenbereich zu nutzen, sondern zu einem Repräsentanten verschiedene Maßangaben zu sammeln und als Stützpunkte zu nutzen (z.B. Bleistift-Länge: ca. 18 cm – Kosten: zwischen 10 ct und 1 €).
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Wichtig ist es auch, Übungen zu den Stützpunktvorstellungen regelmäßig zu wiederholen und analog zum Kopfrechnen und zur Kopfgeometrie in den Unterricht einzubeziehen (vgl. Nührenbörger, 2001), denn Stützpunktvorstellungen können nicht einfach „auswendig“ gelernt werden. Durch vielfältige Vergleiche von Geldbeträgen oder von Warenpreisen mit bereits bekannten Stützpunkten können Größen- bzw. Wertvorstellungen weiter ausgebaut und vernetzt werden. Relevant sind hier insbesondere Größenvergleiche auf der Grundlage der Ordnungsrelation („...ist mehr bzw. weniger wert als...“).
