In den folgenden Ausführungen werden Impulse beschrieben, wie die unterschiedlichen Phasen des Unterrichts auf Basis der gemeinsamen Aufgabenstellung „Partneraufgaben darstellen und zuordnen“ inklusiv gestaltet werden können. Dabei werden Möglichkeiten eines gemeinsamen Einstiegs sowie einer gemeinsamen Reflexion thematisiert.
Gemeinsame Einstiegsphase
Partneraufgaben darstellen und zuordnen
(Hinweis: Die folgenden Ausarbeitungen zur gemeinsamen Einstiegs- und Reflexionsphase stellen keinen verbindlichen Ablauf dar. Diese können in der eigenen klasse flexibel und an die individuellen Voraussetzungen der Klasse angepasst werden.)
„Beschreibe Zahlbilder und vergleiche Partneraufgaben“
Material: Einer und Zehner, Darstellungskarten, leeres Set
Abbildung 1: "Partneraufgaben" mit Material beschreiben
Wie können die Basiskompetenzen „Stellenwertverständnis“ und „Multiplikationsverständnis“ konkret für die eigene Klasse gefördert werden?
Es geht im Folgenden darum, Ideen für einen gemeinsamen Einstieg aufzuzeigen. Diese können für die eigene Lerngruppe adaptiert werden, indem an individuelle Vorkenntnisse der Kinder angeknüpft wird. Darauf aufbauend, wird entschieden, welche Fragestellungen und Impulse genutzt werden können. Dabei ist die Nutzung von verschiedenen Darstellungsebenen und Materialien zur Förderung des Verständnisses der inhaltlichen Zusammenhänge wichtig.
Konkret können das Stellenwert- und Multiplikationsverständnis durch Vergleich der Aufgaben des kleinen und des Zehnereinmaleins mit vernetzten Darstellungen gefördert werden. Die Erkenntnis, dass mit Zehnern wie mit Einern gerechnet werden kann, basiert auf Einsichten, die durch die Basiskompetenz des Stellenwertverständnisses erlangt werden können. Das Multiplikationsverständnis wird insbesondere durch das Arbeiten am konkreten Material sowie das Verwenden der Gruppensprache („zwei Dreier“, „zwei Dreißiger“ – Multiplikation verstehen) fokussiert.
Die Beschreibung eines gemeinsamen Einstiegs basiert auf Vorüberlegungen der Lehrkraft, wie z. B.:
Welche Basiskompetenzen möchte ich durch welche Inhalte fördern? Woran kann ich anknüpfen?
Welche Inhalte sind die für die konkrete Arbeitsphase zu den Partneraufgaben bedeutsam?
Wie kann ich diese Inhalte differenzsensibel vermitteln?
Was können Kinder einer heterogenen Lerngruppe in einem gemeinsamen Einstieg entdecken?
Wie können die Kinder bei der Versprachlichung unterstützt werden?
Welche Inhalte möchte ich im Einstieg behandeln, die für die folgende Arbeitsphase bedeutsam sind?
-
Aktivierung von Vorwissen (z. B. des Einmaleins, von Zahlbildern zu Malaufgaben, Beschreibung von Malaufgaben)
-
Übertragung des Vorwissens auf Aufgaben des Zehnereinmaleins (z. B. Zahlbilder mit Zehnern erstellen)
-
Gemeinsamkeiten zwischen Aufgaben des kleinen Einmaleins und Zehnereinmaleins in Bezug auf die verschiedenen Darstellungsebenen beschreiben
Wie kann ich die Inhalte differenzsensibel behandeln?
Zahlbilder (hier z. B. 2・3 und 2・30) vergleichen und passenden Aufgaben bzw. Versprachlichungen zuordnen
-
Zahlbilder einer Aufgabe zuordnen („Welche Aufgabe passt zum Zahlbild?“)
-
Eigene Zahlbilder zu einer Aufgabe erstellen („Finde das Zahlbild zu dieser Aufgabe.“)
-
Zahlbilder zu einer Aufgabe des Zehnereinmaleins entwickeln
-
Beschreibung von Zahlbildern (z. B. sprachliche Darstellungskarten, Sprachspeicher)
Multiplikationssets vervollständigen und Partneraufgaben vergleichen
-
Zuordnung von Aufgabe, Zahlbild und Versprachlichung in einem Set
-
Gegenüberstellung und Vergleich der Aufgaben aus dem kleinen Einmaleins und des Zehnereinmaleins anhand einer Partneraufgabe (z. B. 2・3 und 2・30)
Was können Kinder einer heterogenen Lerngruppe in einem gemeinsamen Einstieg entdecken?
Die folgenden Ausführungen stellen mögliche Entdeckungen auf der Ebene des Beschreibens und Begründens dar. Die Kinder können für eine bessere Orientierung und als Mittel der Kommunikation Forschermittel wie z. B. das Einkreisen oder das Verwenden von Pfeilen nutzen. Zusätzlich bieten der Sprachspeicher bzw. wichtige Wörter die Möglichkeit sich im Rahmen einer gemeinsamen Fachsprache auszutauschen (s. Möglichkeiten individueller Unterstützung). Die Lehrkraft kann u.a. durch Impulsfragen unterstützen (siehe Abbildung 1: „Partneraufgaben“ mit Material beschreiben).
Beschreiben des Zahlbildes bzw. Versprachlichung der Handlungen. Beschreiben, wie die Malaufgaben in der Darstellung erkennbar sind (ggf. Einkreisen der Reihe). Mögliche Aussagen können sein (siehe auch Sprachspeicher):
-
„Ich lege drei Einer. Das ist ein Dreier.“
-
„Ich lege drei Zehner. Das ist ein Dreißiger.“
-
„Ich sehe immer einen Dreier in einer Reihe.“
-
„Es sind zwei Reihen mit immer drei, also zwei Dreier.“
-
„Zu dem Zahlbild passt die Aufgabe zwei Mal drei.“
-
„Ich sehe immer einen Dreißiger in einer Reihe.“
-
„Es sind zwei Reihen mit immer dreißig, also zwei Dreißiger.“
-
„Zu dem Bild passt die Aufgabe zwei Mal dreißig.“
-
„Die 1. Zahl bleibt gleich.“
-
„Bei der 2. Zahl sind es drei, bei der anderen Aufgabe sind es dreißig.“
-
„Die Aufgabe des kleinen Einmaleins kann ich mit Einern legen. Die Aufgaben des Zehnereinmaleins mit Zehnern.“
-
…
Begründen, warum die verschiedenen Darstellungen (Zahlbild, Aufgabe und Beschreibung) zueinander passen. Begründen von Zusammenhängen zwischen den Partneraufgaben.
-
K: „Zu dem Zahlbild passt die Aufgabe zwei Mal drei.“
L: „Warum?“
K: „Weil es immer drei, also zwei Dreier sind.“
-
K: „Zu dem Zahlbild passt die Aufgabe zwei Mal dreißig“
L: „Warum?“
K: „Weil es zwei Dreißiger sind.“
-
K: „Bei der einen Aufgabe rechne ich nur mit Einern und bei der anderen Aufgabe nur mit Zehnern.“
L: „Woran siehst du das?“
K: „In dem einen Set ist das Zahlbild nur mit Einern dargestellt, in dem anderen Set nur mit Zehnern“
-
K: „Da kommt eine Null dazu.“
L: „Warum?“
K: „Zuerst sind es zwei Dreier und dann zwei Dreißiger.“
Anmerkung:
An dieser Stelle des Erarbeitungsprozesses kann sicherlich folgende Aussage seitens der Kinder kommen: „Da kommt eine Null dazu.“ Diese Aussage könnte sich sowohl auf das Ergebnis als auch auf die Aufgabe an sich beziehen. Da das Ergebnis an dieser Stelle noch nicht miteinbezogen wird, könnte daher die Aufgabe gemeint sein. Dies ist zunächst eine gute Beobachtung. Wichtig ist jedoch, dass es nicht mit dieser Beschreibung endet, sondern mit einem Verständnis dafür, was im mathematischen Sinne passiert, wenn Einer mit einem Vielfachen von Zehn multipliziert werden.
Hier kann ein Hinweis der Lehrkraft zielführend sein: „Das hast du toll herausgefunden. Du kannst in der Erarbeitungsphase noch einmal genau schauen, wie sich die Partneraufgaben verändern und warum ‚Nullen hinzukommen‘.“
Es ist wichtig, nicht auf den „Nullentrick“ zu verweisen, da dieser ein schematisches Abzählen impliziert, ohne inhaltlichen Bezug („3・4 = 12, 3・40 = 120, bei der 4 kommt eine Null dazu, also auch beim Ergebnis.“). Mit zunehmender Erweiterung des Zahlraumes wird dieser „Trick“ z. B. durch Übergeneralisierungen fehleranfällig (siehe Hintergrund).
Es ist wichtig, dass die Kinder das Anhängen und Weglassen von Nullen inhaltlich verstehen, denn nur dadurch können Ergebnisse validiert werden. Beispielsweise könnte durch Übergeneralisierung des Anhängens der Nullen der Multiplikation bei der Rechnung 350 : 50 = 700 (statt 7) herauskommen. Hier sollte es den Lernenden möglich sein, das Ergebnis inhaltlich zu interpretieren anstelle sich auf die prozedurale Anwendung des Tricks zu verlassen. Eine Möglichkeit, dies nachzuvollziehen bietet die Stellenwerttafel. Hier kann gut veranschaulicht werden, dass die Multiplikation mit 10 dazu führt, dass durch die Verschiebung nach links innerhalb der Stellenwerttafel aus jedem Einer ein Zehner wird, aus jedem Zehner ein Hunderter, usw. Gleichzeitig bedeutet die Division mit 10, dass durch die Verschiebung innerhalb der Stellenwerttafel nach rechts aus jedem Zehner ein Einer wird, aus jedem Hunderter ein Zehner, usw. In der abschließenden gemeinsamen Reflexionsphase wird dieser Zusammenhang noch einmal genauer aufgegriffen (siehe Abbildung 2).
In der sich anschließenden Erarbeitungsphase geht es um das Erkennen und Nutzen von Beziehungen zwischen verschiedenen Darstellungseben und Partneraufgaben. Welche Möglichkeiten es dabei gibt die Basisaufgabe zu erweitern oder zu reduzieren, sowie welche individuellen Unterstützungsmaßnahmen getroffen werden können, entnehmen Sie gerne den eingangs genannten Ausführungen über die Basisaufgabe.
Gemeinsame Reflexionsphase
„Vergleiche die Partneraufgaben. Beschreibe und begründe.“
„Passt das auch bei anderen Aufgabentypen? Erforsche Zusammenhänge!“
Material: Multiplikationssets, Sprachspeicher, Einer und Zehner
Im Anschluss an die Erarbeitungsphase erfolgt eine gemeinsame Reflexion, um einerseits die Ergebnisse zu sichern und andererseits Erkenntnisse auf andere Zusammenhänge zu übertragen. Zunächst werden mögliche Ziele einer gemeinsamen Reflexion kurz beschrieben, woraufhin mögliche Vorgehensweisen aufgeführt werden, wie die aufgeführten inhaltlichen Ziele im konkreten Unterricht umgesetzt werden können. Es geht an dieser Stelle darum, Ideen für eine gemeinsame Reflexion aufzuzeigen. Diese können für die eigene Lerngruppe adaptiert werden.
Ziele einer gemeinsamen Reflexion
Übertragung des Prinzips „Mit Zehnern rechnen wie mit Einern“ auf die Multiplikation
Ein mögliches Ziel der Reflexionsphase, welches sich aus der gemeinsamen Erarbeitungsphase ergibt, ist den Zusammenhang zwischen der Multiplikation im kleinen Einmaleins und im Zehnereinmaleins zu verstehen („Ich kann mit Zehnern rechnen wie mit Einern“). Diese Erkenntnis ist eine wesentliche Grundlage, um sich später bei der Multiplikation im Tausenderraum zu orientieren. Auch die Ergebnisse der Aufgaben können in diesem Schritt miteinbezogen werden.
Übertragung der Erkenntnisse aus dem Zehnereinmaleins auf die Division
Untersucht werden Multiplikationsaufgaben und ihre Umkehraufgaben vor dem Hintergrund der Fragestellung: „Kann man die Erkenntnisse aus der Multiplikation auch auf Aufgaben der Division übertragen?“. Es geht an dieser Stelle um ein Verständnis dafür, dass durch die Division mit einem Vielfachen von zehn eine Verschiebung im Stellenwertsystem um (mindestens) eine Stelle nach rechts stattfindet („Durch 10 dividieren bedeutet, dass aus Zehnern Einer werden bzw. aus Hundertern Zehner, usw.“).
Übertragung der Erkenntnisse aus dem Zehnereinmaleins auf das Rechnen mit Stufenzahlen
Hier geht es um die Einsicht, dass das Multiplizieren mit Zehnerpotenzen immer ein Verschieben der Ziffern um eine oder mehrere Spalten nach links bewirkt (Selter et al., 2014) („Aus Einern werden Zehner, wenn ich mit 10 multipliziere. Aus Einern werden Hunderter, wenn ich mit Hundert multipliziere, …“)
Abbildung 2: Multiplikative Beziehungen zwischen Stellenwerten (Selter et al., 2014)
Übertragung der Erkenntnisse aus dem kleinen und dem Zehnereinmaleins auf Tauschaufgaben
In diesem Schritt werden u.a. auch die Ergebnisse betrachtet. Es geht um die Erkenntnis, dass 4・3 das gleiche Ergebnis hat wie 3・4, sowie 4・30 das gleiche Ergebnis hat wie 30・4. Hintergrund ist das Kommutativgesetz, das die Kinder an dieser Stelle materialgestützt nachvollziehen können. Das Verständnis dieses Gesetzes ermöglicht es, schwierige Aufgaben geschickt zu lösen, indem Aufgabenbeziehungen genutzt werden.
Mögliche Vorgehensweisen
