Abbildung 1: Übersicht_Aufgabenstellung kompakt "Zahlen zerlegen"

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Basisaufgabe und Vertiefung

Reduktion

Erweiterung

Möglichkeiten individueller Unterstützung


Basisaufgabe

"Immer 6 (5; 7; ...). Zerlege, finde verschiedene Möglichkeiten."

Material: Wendeplättchen / Legerahmen / Stift / Papierstreifen mit 6 Punkten

Die Kinder arbeiten in Partnerarbeit. Vor ihnen liegen 6 Wendeplättchen. Ein Kind zerlegt die in einer Reihe angeordneten Plättchen in zwei Teilmengen. Das Partnerkind beschreibt die Zerlegung. Anschließend wechseln die Kinder die Rollen.

Abbildung 2

 Die sprachliche Begleitung der Handlung ist hierbei besonders wichtig und sollte immer wieder angeregt, eingefordert und geübt werden. Eine sinnvolle Unterstützung kann hierbei eine schriftliche Anleitung für die Partnerarbeit sein, bei der ein Sprachmuster vorgegeben sind.

Abbildung 3

 

Eine alternative Möglichkeit besteht darin, den Kindern mehrere Streifen mit jeweils 6 abgebildeten Punkten zur Verfügung zu stellen und diese knicken bzw. falten oder zerschneiden zu lassen. 

Anschließend werden die „zerlegten“ Streifen gelegt (aufgeklebt), die Schnittkante bzw. Faltkante wird markiert und die Zerlegungen werden benannt.

Abbildung 4

Die Kinder sollten zudem angeregt werden, die gefundenen Zerlegungen zu dokumentieren. Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, durch die zugleich auch verschiedene Darstellungsebenen miteinander verknüpft werden können (vgl. auch "Dokumentation der Zerlegungen“ und "Verknüpfen verschiedener Zerlegungsdarstellungen“ unter Reduktion):

Abbildung 5

 

Wichtig:

Im Vorfeld muss die (mathematische) Bedeutung des Begriffes "Zerlegung" sowie der Zusammenhang von "Zerlegung" und  "Teil-Ganzes-Beziehung" mit den Kindern geklärt werden. Ausgehend von der alltagssprachlichen Verwendung des Begriffes (z.B.: "Ich zerlege eine ganze Tafel Schokolade in mehrere Teile") wird die Bedeutung des "Zerlegens einer Zahl" in den Blick genommen:

"Ich zerlege 6 in 4 und 2."

("Ich zerlege eine Menge von 6 Plättchen in die Teilmengen 4 Plättchen und 2 Plättchen.")

Beachtet werden muss zudem, dass mit dem Begriff "Zerlegung" im Allgemeinen die "Zerlegung in zwei Teilmengen" assoziiert wird. Gleichwohl ist natürlich immer auch eine Zerlegung in drei oder mehr Teilmengen denkbar (vgl. hierzu auch die Aufgabe "Zerlegen von Zahlen in drei (oder mehr) Teile" unter Erweiterung).

Weitere Informationen und Anregungen zur Arbeit mit Kindern, die einen Unterstützungsbedarf im Bereich Sprache haben, finden Sie in der Rubrik Förderschwerpunkte: Sprache.

Vertiefende Hinweise zur Sprachförderung im Mathematikunterricht erhalten Sie auch auf der Webseite unseres Partnerprojektes primakom: Vielfalt – Sprachförderung – Einstieg.


Vertiefung

Dokumentation der Zerlegungen

Material: AB, Papierstreifen zur Notation, Papierstreifen mit 6 Punkten

Eine vertiefende Aktivität besteht in der Dokumentation der gefundenen Zerlegungen. 

Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten:

Zum einen kann eine tabellarischen Übersicht erstellt werden. Die Kinder zeichnen die Zerlegungen ein und notieren die entsprechenden Zahlen. Einige Kinder werden bei der Dokumentation der Zerlegungen bereits systematisch vorgehen und die Zerlegungen geordnet notieren. Andere Kinder sortieren die Zerlegungen im Anschluss an die Dokumentation. Damit die Zerlegungen sortiert werden können (vgl. "Sortieren und Ordnen der gefundenen Zerlegungen"), kann die Übersicht zerschnitten werden.

Abbildung 6

Alternativ können die Zerlegungen auch direkt auf Papierstreifen gezeichnet werden:

Abbildung 7

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, den Kindern Papierstreifen mit 6 linear angeordneten Punkten zur Verfügung zu stellen, bei denen dann nur noch ein Trennstrich zwischen die Teilmengen gezeichnet wird:

Abbildung 8

Neben der zeichnerischen / ikonischen Dokumentation der Zerlegungen gibt es verschiedene Möglichkeiten die Zerlegungen mit Zahlen zu bezeichnen und auf der symbolischen Ebene zu dokumentieren (vgl. auch die tabellarische Übersicht oben):

Abbildung 9

Vertiefung

Sortieren und Ordnen der gefundenen Zerlegungen

Material: Sortiertafel / Dokumentationen der gefundenen Zerlegungen

Die gefundenen Zerlegungen zu sortieren und zu ordnen ist eine weitere wichtige Aktivität. Hier sind verschiedene Sortierungen bzw. Ordnungen möglich. Die Kinder können sich beim Ordnen der Zerlegungen sowohl an der Plättchendarstellung als auch an den notierten Additionsaufgaben orientieren. Denkbar ist eine Ordnung bei der Bezug auf die (aufsteigende bzw. absteigende) Zahlenfolge genommen wird oder bei der die Plättchendarstellungen als Muster angeordnet werden.

Ziel des Ordnens ist es, ein über die einzelnen Zerlegungen hinausgehendes Muster zu erkennen und die Struktur zu beschreiben.

Beispiel 1: Wird der Stift ein Plättchen (z.B. nach links) weitergelegt,  erhöht sich die rechte Teilmenge der Plättchen um eins und die linke Teilmenge der blauen Plättchen vermindert sich um eins. Die Gesamtmenge der Plättchen bleibt gleich („gegensinniges Verändern“).

Abbildung 10

Beispiel 2: Hier wird immer eine Aufgabe mit der jeweiligen Tauschaufgabe kombiniert. Dabei wird zugleich (immer bezogen auf das nächste Paar) der erste Summand um eins vermindert.

Abbildung 11

Beispiel 3: Der erste Summand wird immer um eins vermindert (bezogen auf die nächste Aufgabenkarte), der Stift wird immer um ein Plättchen nach links verschoben. Zugleich erhöht sich der zweite Summand um eins.

Abbildung 12

Vertiefung

Beschreiben und Begründen der Anordnungen und Sortierungen

Material: Sortiertafeln mit geordneten Zerlegungen

Wesentlich ist auch das Beschreiben und Begründen der Anordnungen und Sortierungen. Die Kinder beschreiben jeweils die von ihnen vorgenommene Sortierung und vergleichen diese mit den Sortierungen der anderen Kinder. 
Hierbei können Ordnungssysteme verglichen sowie fehlende Zerlegungen gefunden und ergänzt werden.

Gleichzeitig geht es um die Frage, ob alle Zerlegungen gefundenwurden, wie (systematisch) vorgegangen werden kann, damit alle Zerlegungen gefunden werden bzw. wo man direkt erkennen kann, ob alle möglichen Zerlegungen notiert wurden:

„David hat die Zerlegungen anders sortiert  als Paula!. Was ist anders? Erklär mal!“

„Vergleiche die Sortierung von David und die Sortierung von Paula! Was fällt dir auf?“

„Sind das alle Möglichkeiten / Zerlegungen? Woher weißt du das?“

„Wie kannst du überprüfen, ob du alle Zerlegungen gefunden hast?“ 

„Wie kannst du schnell erkennen, ob du alle Zerlegungen gefunden hast?“ 

„Wie kannst du vorgehen, damit du sicher alle Zerlegungen findest?"


Vertiefung

Verknüpfen von Zerlegungsdarstellungen

Material: Sortiertafel / verschiedene Darstellungen von Zerlegungen

Die Kinder erhalten verschiedene Darstellungen von Zerlegungen (Plättchendarstellungen / symbolische Darstellungen / Fingerbilder / …) und ordnen Darstellungen auf einer Sortiertafel einander zu.

Der Fokus liegt hier auf der Verknüpfung bzw. Zuordnung von Repräsentanten einer Darstellungsebene bzw. zwischen Darstellungsebenen und dem Bestimmen der Teilsummanden. Variiert werden können hier - je nach Zielsetzung und den jeweiligen Lernvoraussetzungen der Kinder - die Darstellungen und die Anzahl der Darstellungen, die den Kindern zur Verfügung gestellt werden. Wobei der Schwerpunkt dieser Aufgabenstellung - im Sinne einer Vertiefung der Basisaufgabe - in der Verknüpfung von symbolischen und ikonischen Darstellungen liegen sollte.

Erfolgt der Zugang zur Zahlzerlegung bei einem Kind über Fingerbilder, sollten diese zusätzlich einbezogen werden. Hier bieten sich dann fokussierte Zuordnungsübungen an, bei denen der Schwerpunkt beispielsweise auf der Verknüpfung von Fingerbildern und Plättchendarstellungen liegt (vgl. hierzu die Aufgabe "Verknüpfen ausgewählter Zerlegungsdarstellungen" unter Reduktion).

Abbildung 13

Gleichzeitig können die Zuordnungen sprachlich begleitet und begründet werden, z.B.: 

„Die Karten passen zueinander. Auf der einen Karte sind 5 Plättchen, zerlegt in in 2 (Plättchen) und 3 (Plättchen) und auf der anderen Karte steht 2 und 3.“

Alternativ kann mit den verschiedenen Zerlegungsdarstellungen wie mit Spielkarten in einem Quartettspiel gespielt werden.


Reduktion

Zerlegen 'kleinerer' Zahlen (2; 3; 4; 5)

Material: Plättchen, Legerahmen, Stift, Papierstreifen mit abgebildeten Punkten

Die Kinder zerlegen – analog zur Basisaufgabe - die in einer Reihe angeordneten Plättchen  (2; 3; 4; 5) mit einem Stift in zwei Teile oder zerschneiden die Streifen und benennen die gefundenen Zerlegungen. Wird mit kleineren Zahlen gearbeitet, reduziert sich die Anzahl möglicher Zerlegungen.


Reduktion

Fokussierung auf die Zerlegungen der Zahlen 5 und 10

Material: Plättchen, Legerahmen, Stift, Papierstreifen mit abgebildeten Punkten

Obwohl sicher die Kenntnis aller Zerlegungen der Zahlen von 1 bis 10 für den Aufbau und das Nutzen operativer bzw. heuristischer Stragtegien von grundlegender Bedeutung ist, nehmen die Zerlegungen der Zahlen 5 und 10 (20) hier doch eine besondere Rolle ein. „Grundsätzlich sind die Zerlegungen der Zahlen von 5, 10, 20 […] besonders wichtig und müssen daher intensiv eingeübt werden“ (Km Bayern 2012, 210; vgl. auch Hasemann & Gasteiger 2014, 159).

So werden die Zerlegungen der 10 bei jeder Additions- und Subtraktionsaufgabe mit Zehnerübergang benötigt. Beherrschen die Kinder die Zerlegungen der Zahl 5, können diese bei der Erarbeitung der Zerlegungen der Zahl 10 eine Hilfe sein wie z.B.:

5 = 2 + 3 und 10 = 5 + 2 + 3

Abbildung 14

Reduktion

Fokussierung auf das Zerlegen der Plättchendarstellung

Material: Plättchen, Legerahmen, Stift, Papierstreifen mit abgebildeten Punkten

In der Partnerarbeit zerlegt ein Kind  die Plättchendarstellung. Die Bezeichnung der Teilmengen mit Zahlen wird dann von dem jeweiligen Partnerkind übernommen. Anschließend wiederholt das Kind, das die Plättchendarstellung zerlegt hat, die Bezeichnung der Teilmengen.

Eine weitere mögliche Variation der Aufgabenstellung besteht darin, nach der Zerlegung der Plättchendarstellung die Teilmengen zunächst miteinander zu vergleichen: Ein Kind beschreibt, welche der beiden Teilmengen mehr / weniger Plättchen enthält bzw. ob in beiden Teilmengen gleich viele Plättchen enthalten sind:

„Hier sind mehr / weniger Plättchen.“

„Es sind gleich viele Plättchen.“

Das Partnerkind benennt dann die konkrete Anzahl der Plättchen.


Reduktion

Verknüpfen ausgewählter Zerlegungsdarstellungen

Material: Sortiertafel / verschiedene Darstellungen von Zerlegungen

Während bei der Aufgabenstellung „Verknüpfen verschiedener Zerlegungsdarstellungen“ (vgl. Basisaufgabe und vertiefende Aufgabenstellungen) die Zuordnung symbolischer und  ikonischer Zerlegungsdarstellungen im Mittelpunkt steht und zugleich mehrere Darstellungen einander zugeordnet werden sollen, liegt der Schwerpunkt der Aufgabenstellung „Verknüpfen ausgewählter Zerlegungsdarstellungen“ im Bereich Reduktion auf der Zuordnung von jeweils zwei (ausgewählten) Zerlegungsdarstellungen.

Erfolgt beispielsweise der Zugang zur Zahlzerlegung bei einem Kind über Fingerbilder (vgl. hierzu „Zerlegen von Fingerbildern“ unter Möglichkeiten individueller Unterstützung), kann es sinnvoll sein, den Schwerpunkt der Zuordnungsübung auf die Verknüpfung von Fingerbildern und Plättchendarstellungen zu legen.

Da die Arbeit mit Fingerbildern im Allgemeinen auf den Zahlenraum bis 10 begrenzt ist, gilt es, die Zusammenhänge zwischen Fingerbildern und Plättchendarstellungen sichtbar zu machen, um die Ablösung von den Fingerbildern zu ermöglichen und produktiv zu begleiten (vgl. Häsel-Weide 2014, 33).

Abbildung 15

Alternativ können die verschiedenen Zerlegungsdarstellungen wie Spielkarten in einem Spiel eingesetzt werden, bei dem es um das Finden von zueinander passenden Karten geht („Finde Paare“).


Erweiterung

Zerlegen selbst gewählter 'großer' Zahlen

Material: AB mit leeren Zahlenhäusern

Die Kinder wählen selber Zahlen aus, zu denen sie Zerlegungen finden und in Zahlenhäuser notieren. Je nach ausgewählten Zahlen können die erstellten Zahlenhäuser im Anschluss verglichen und mögliche Analogien entdeckt werden (z.B. Zahlenhäuser zur 6 und 16).


Erweiterung

Vergleichen von Zahlenhäusern

Material: AB mit leeren Zahlenhäusern

Die Kinder notieren die Zahlzerlegungen zu mehreren Zahlen (Nachbarzahlen) systematisch in Zahlenhäusern, vergleichen anschließend die Zahlenhäuser miteinander und notieren bzw. markieren, was ihnen auffällt.

„Vergleiche die Zahlenhäuser. Was fällt dir auf?“

Abbildung 16

Mögliche Entdeckungen:

  • Je größer die Dachzahl, desto mehr Stockwerke sind nötig.
  • Bei Häusern mit aufeinander folgenden Dachzahlen (z.B. 5,6,7,8,..) wächst die Anzahl der benötigten Stockwerke jeweils um 1.
  • Die Dachzahl + 1 ergibt jeweils die Anzahl der benötigten Stockwerke.
  • Verdoppelungsaufgaben kommen nur bei geraden Dachzahlen vor.
  • Wenn die Anordnung der Zahlzerlegungen dem obigen Beispiel entspricht: Der zweite Summand ist in den jeweiligen Stockwerken immer gleich.
  • ...

Erweiterung

Zerlegen von Zahlen in drei Teile

Material: AB

Die Kinder werden angeregt, eine Zahl (z.B. 6) in drei  (oder mehr) Teile zu zerlegen und verschiedene Möglichkeiten zu finden.

Um die Anzahl der möglichen Zerlegungen zu begrenzen, kann es sinnvoll sein, die leere Menge als mögliche Teilmenge auszuschließen und nur Mengen mit mindestens einem Element zuzulassen - zumal es darüber hinaus schwierig ist, Zerlegungen mit leeren Teilmengen an einer Punktereihe mit Stiften darzustellen bzw. durch Zerschneiden herzustellen.

Wird die leere Menge als mögliche Teilmenge zugelassen, ist es angezeigt, die Zerlegung nur auf der symbolischen Ebene durchzuführen. Hier wird die Zerlegung beispielsweise mittels Zahlentripeln oder als Additionsaufgabe dargestellt, die die Anzahl der Elemente in einer Teilmenge bezeichnen. D.h. das Zahlentripel 0 / 0 / 6  entspricht einer Zerlegung in zwei leere Teilmengen und in eine Teilmenge mit 6 Elementen.

"Finde alle (verschiedene) Möglichkeiten. Wie gehst du vor?“

Beispiel mit Angabe der möglichen Zahlzerlegungen. 
Zerlegung der Zahl 6 in drei Teile / die leere Menge ist als Teilmenge zugelassen:

Abbildung 17

Beispiel mit Angabe der möglichen Zahlzerlegungen. 

Zerlegung der Zahl 6 in drei Teile / die leere Menge ist als Teilmenge nicht zugelassen:

Abbildung 18

Erweiterung

Ergänzen von Zahlzerlegungen

Material: Sortiertafel, Papierstreifen mit abgebildeten Punkten, Ergänzungsstreifen, Streifen mit Additionsaufgaben (ein Summand verdeckt)

Die Kinder haben die Aufgabe, unvollständig vorgegebene Zahlzerlegungen zu ergänzen.

Vorgegeben werden Additionsaufgaben, bei denen ein Summand verdeckt ist.

Abbildung 19

Bei Bedarf können die Ergänzungen im Anschluss überprüft werden:

Auf bzw. unter eine Darstellung der Gesamtmenge werden die Teilmengen gelegt und die Passung der ergänzten Teilmengen wird kontrolliert.

Abbildung 20

Möglichkeiten individueller Unterstützung

Legen der Zahldarstellungen

Zum Legen der Zahldarstellungen (z. B. 6 linear angeordnete Wendeplättchen) können statt Wendeplättchen auch „Wendesteine“ (Rechenschiffchen) verwendet werden.  Das Verrutschen der Wendesteine kann beispielsweise durch den Einsatz einer Filzunterlage verhindert werden.

Abbildung 21

Möglichkeiten individueller Unterstützung

Dokumentieren der Zahlzerlegungen

Statt die Zahlzerlegungen zu zeichnen, können die Kinder die Zahlzerlegungen auch mit einem Stempel dokumentieren.

Material (Stempel): Kreis aus Moosgummi (in Plättchengröße) / Flaschenkorken / doppelseitiges Klebeband

Abbildung 22

Möglichkeiten individueller Unterstützung

Beschreiben und Begründen der Anordnungen und Sortierungen

Wichtig ist es zunächst, das Sprachverständnis der Kinder zu sichern, d.h. die alltagssprachliche Bedeutung und die mathematische Bedeutung des Begriffes „zerlegen“ mit den Kindern zu klären (vgl. die Erläuterungen zur Basisaufgabe). D.h. die Kinder müssen eine Vorstellung davon entwickeln was es heißt, Zahlen zu zerlegen.

Zur Beschreibung der Muster und zum Begründen der Anordnungen und Sortierungen können die Kinder Sprachmuster verwenden und einen Wortspeicher anlegen. Mögliche Begriffe für den Wortspeicher: 

Zerlegung / zerlegen / 1. Zahl / 2. Zahl / rechts (vom Stift) / links (vom Stift) / zerschneiden / mehr / weniger / gleich / ….

Der Einsatz von Sprachmustern und Textbausteinen unterstützt die Kinder beim Beschreiben, Begründen und beim Übertragen des Sachverhaltes auf andere Situationen:

… wird zerlegt in … und … / Ich zerlege … Plättchen in … und in … Plättchen / Du zerlegst … Plättchen in … und in … Plättchen / Der erste Summand wird um … mehr / weniger / ... 

Weitere Informationen und Anregungen zur Arbeit mit Kindern, die einen Unterstützungsbedarf im Bereich Sprache haben, finden Sie in der Rubrik Förderschwerpunkte: Sprache.


Möglichkeiten individueller Unterstützung

Fokussieren von Teilmengen

Zur Fokussierung und zum Hervorheben von Teilmengen der Zahldarstellungen können farbige Folien (transparent) eingesetzt werden.

Abbildung 23

 Möglichkeiten individueller Unterstützung

Zerlegen von Fingerbildern

Anstelle der Plättchen können - für die Zerlegung der 5 und der 10 - auch Fingerbilder eingesetzt und zerlegt werden, indem ein Stift zwischen die Finger gehalten wird. Die Arbeit an und mit Fingerbildern kann (muss aber nicht) für Kinder eine Hilfe sein. „Punktedarstellungen werden nur über die Augen wahrgenommen – im Unterschied zu Fingerdarstellungen, die auch über den eigenen Körpersinn erfahren werden“ (Gaidoschik 2007, 54).
Die Dokumentation erfolgt dann über das Einzeichnen von Strichen in vorgegebene Fingerbilder.

Abbildung 24

Achtung! Wird mit den Fingern gearbeitet, muss immer darauf geachtet werden, dass diese ausschließlich statisch (als Fingerbild) eingesetzt werden.

Abbildung 25

Beachtet werden sollte aber, dass die Arbeit mit Fingerbildern im Zahlenraum bis 10 durchaus sinnvoll, aber darüber hinaus kaum fortsetzbar ist. Wichtig ist deshalb auch, die Ablösung von den Fingerdarstellungen anzustreben und produktiv zu begleiten (vgl. Häsel-Weide 2014, 33).