In den folgenden Ausführungen werden Möglichkeiten für gemeinsame, inklusiv gestaltete Einstiegs- und Reflexionsphasen zu der Aufgabenstellung „Dividiere große Zahlen. Achte auf die Stellenwerte“ beschrieben. Diese stellen keinen verbindlichen Ablauf dar. Die Vorschläge sind an die individuellen Voraussetzungen der Klasse anzupassen.
Den folgenden Ausführungen liegen die Vorüberlegungen zugrunde, wie die Basiskompetenzen Ziffernrechnen, Operationsverständnis und Stellenwertverständnis am Inhalt schriftliche Division gefördert werden können (s. Hintergrund).
Gemeinsame Einstiegsphase
Material: Kartenset „Schritte der schriftlichen Division“, Stellentafel, kariertes Papier, Plättchen, Aufgabenkarten
Das hier dargestellte Beispiel für einen gemeinsamen Einstieg gliedert sich in zwei Phasen des Anknüpfens an Vorerfahrungen (1) und einer verstehensorientierten Anwendung des Kartensets (2).
1. Phase: Anknüpfen an Vorerfahrungen: „Was bedeutet Aufteilen?“
Abbildung 1: Beispiel für eine erste Phase des gemeinsamen Einstiegs
In der ersten Phase des gemeinsamen Einstiegs (s. Abbildung 1) knüpft die Lehrkraft am Beispiel der Aufgabe 12 : 4 an Vorerfahrungen zum Prinzip des Aufteilens an „Was bedeutet es, eine Zahl aufzuteilen?“. Die Grundvorstellung des Aufteilens haben die Kinder bereits kennengelernt und in halbschriftlichen Rechenwegen genutzt (stellenweises Dividieren).
Damit möglichst alle Kinder von dieser Phase profitieren können, wird einerseits eine Aufgabe in einem kleinen Zahlenraum ausgewählt und andererseits die Plättchendarstellung genutzt. Die Kinder können an dieser Darstellung die Bündelung in Vierer aktiv erarbeiten und nachvollziehen und so einen verstehensorientierten Zugang zu der Aufgabe – beispielsweise 12 : 4 – erlangen. Diese Anknüpfung ist für den weiteren Umgang des materialgestützten Umgangs mit den einzelnen Schritten des schriftlichen Algorithmus essenziell.
Die Lehrkraft kann durch Impulse (s. Abbildung 1) und gezielte Fragen zusätzlich unterstützen, die Vorkenntnisse zur Division zu aktivieren, sowie Bündelungsprozesse handelnd nachzuvollziehen, zu beschreiben und zu begründen. Es geht in dieser Phase auch darum, die Beziehung zur Multiplikation als Umkehroperation bewusst zu machen („12 : 4. Ich kann 3 Vierer bündeln, denn 3 mal 4 sind 12.“).
Die Kinder können für eine bessere Orientierung und als Mittel der Kommunikation Mittel zum Forschen wie z. B. das Einkreisen oder das Verwenden von Pfeilen nutzen. Mehr Informationen zu Forschermitteln finden sich unter Leitideen: Aufgaben adaptieren: Forschermittel. Zusätzlich bieten der mit den Lernenden gemeinsam entwickelte Sprachspeicher bzw. die Sammlung wichtiger Wörter und Formulierungen die Möglichkeit sich im Rahmen einer gemeinsamen Fachsprache auszutauschen (s. Aufgabenstellung kompakt: Möglichkeiten individueller Unterstützung).
Beispiele für die Beschreibung von Aufteilungsprozessen (Versprachlichung der Handlungen): Wie kann eine Menge aufgeteilt werden? Wie kann ich stellenweise aufteilen? Was mache ich mit dem Rest?
Mögliche Aussagen können sein (s. Möglichkeiten individueller Unterstützung):
-
„Ich lege 12 Plättchen. Diese Plättchen muss ich aufteilen.“
-
„Ich kreise immer 4 Plättchen ein. Das kann ich drei mal machen.“
-
„Ich habe insgesamt 3 Vierer.“
-
„Ich kann die 12 in drei Bündel mit jeweils 4 Plättchen aufteilen.“
-
„Ich frage: Wie viele Vierer kann ich bündeln?“
-
…
2. Phase: Verstehensorientierte Anwendung des Kartensets am Beispiel der Aufgabe 9344 : 4
Abbildung 2: Beispiel für eine mögliche zweite Phase des gemeinsamen Einstiegs: Verstehensorientierte Anwendung des Kartensets am Beispiel der Aufgabe 9344 : 4.
In der zweiten Phase des Einstiegs vollziehen die Kinder aktiv die Handhabung des Kartensets zu den Schritten bei der schriftlichen Division nach, damit Klarheit über die Aufgabenstellung und das Vorgehen in der Arbeitsphase herrscht.
Dabei ist die Nutzung von verschiedenen Darstellungsebenen und Materialien zur Förderung des Verständnisses der inhaltlichen Zusammenhänge wichtig, d. h. eine Aufgabe wird notiert und mit Plättchen in der Stellentafel gelegt. Der Algorithmus wird so schrittweise mit Hilfe des Kartensets und den Materialhandlungen an der Stellentafel nachvollzogen. Die Kinder beschreiben dabei ihre Vorgehensweise.
Im Rahmen des Einstiegs ist es wichtig, dass die Lernenden verstehen, wie viele Plättchen jeweils gebündelt werden müssen – immer Bündel mit so vielen Elementen, wie der Divisor. Weiterhin sollte die Erkenntnis geschaffen werden, dass so oft gebündelt werden muss, wie es die Anzahl der Plättchen im jeweiligen Stellenwert ermöglicht. Dies ist wichtig, damit an keiner Stelle der Bündelung ein Rest entsteht, der größer ist als der Divisor.
Abbildung 3: Setkarten S. 6 und S. 7: Beispiel für eine maximale Bündelung innerhalb eines Stellenwertes
Neben dem Bündeln spielt die Entbündelung des Rests in den nächstgrößten Stellenwert eine wichtige Rolle (s. Abbildung 4). Das Verständnis der Entbündelung eines Tausenders beispielsweise in zehn Hunderter bildet die Basis für das Verständnis des Entbündelns im schriftlichen Algorithmus.
Abbildung 4: Setkarten S. 14 und S. 15: Beispiel für die Entbündelung des Restes in den nächstgrößten Stellenwert
Beispiele für die Begründung von Aufteilungs- und Entbündelungsprozessen im Zusammenhang mit den einzelnen Schritten des Algorithmus (Exemplarisches Unterrichtsgespräch mit Lehrer*in (hier L) und Kind (hier K):
-
L: „ Wie viele Plättchen musst du legen, wenn du 12 : 4 rechnest?“
K: „Ich lege 12 Plättchen.“
L: „Warum?“
K: „Ich möchte herausfinden, wie viele Vierer zusammen 12 sind.“
-
K: „12 : 4: Ich bündle immer Vierer.“
L: „Warum musst du immer 4 bündeln?“
K: „Ich denke an die Umkehraufgabe. Ich stelle mir vier Plättchen als einen Vierer vor und dann überlege ich, wie viele Vierer 12 sind.“
-
K: „7 : 3. Ich muss immer Dreier bündeln.“
L: „Wie oft kannst du bündeln?“
K: „Ich muss immer Dreier bündeln. Das geht zwei mal.“
L: „ Aber zwei Dreier sind doch nur sechs! Warum bündelst du nur zwei mal einen Dreier?“
K: „Es ist nur ein Plättchen übrig, ich brauche aber drei Plättchen, um einen Dreier zu bündeln. Ein Plättchen bleibt deshalb übrig, das kann ich nicht bündeln. Das ist der Rest.“
-
K: „Ich habe ein Plättchen in der Tausenderspalte übrig. Das kann ich nicht aufteilen. Ich muss entbündeln.“
L: „Warum?“
K: „Die 3 passt nicht in die 1. Also entbündle ich den Tausender in 10 Hunderter. Jetzt liegen 10 Plättchen in meiner Hunderterspalte. Die kann ich wieder aufteilen.“
Beispiele für die Beschreibung von Aufteilungsprozessen (Versprachlichung der Handlungen): Wie kann eine Menge aufgeteilt werden? Wie kann ich stellenweise aufteilen? Was mache ich mit dem Rest?
-
„Ich lege die Zahl 6452 in der Stellentafel. Das sind 6 Tausender, 4 Hunderter, 5 Zehner und 2 Einer.“
-
„Ich beginne mit der größten Stelle, das sind die Tausender.“
-
„In meiner Tausenderspalte liegen 6 Plättchen, die muss ich aufteilen.“
-
…
Anmerkung: Es ist wichtig bei den Beschreibungen der Kinder auf die Anzahl der Plättchen in der Stellentafel zu schauen und diese aufzuteilen. Wenn beispielsweise die Frage ist, ob die 3 in die 1000 passt, lässt sich das auf Zahlenebene lösen. Wird diese Aufgabe auf Ziffernebene gelöst, würde man zu dem Ergebnis kommen, dass die 3 nicht in die 1 passt (ohne dass eine Dezimalzahl entsteht). In der Stellentafel wird der Tausender jedoch durch 1 Plättchen in der Tausenderstelle dargestellt. Dieses 1 Plättchen lässt sich nicht aufteilen.
Mehr Informationen zur Moderation solcher Plenumsphasen lassen sich finden unter Leitideen: Austausch anregen: Gespräche im Klassenverband: Hintergrund.
In der sich an den Einstieg anschließenden Erarbeitungsphase geht es darum, den schriftlichen Algorithmus der Division in seinen Teilschritten verstehensorientiert zu erfassen und anzuwenden. Welche Möglichkeiten es zur Erweiterung, Reduktion und Vertiefung der Basisaufgabe gibt, sowie welche individuellen Unterstützungsmaßnahmen getroffen werden können, entnehmen Sie den eingangs genannten Ausführungen der Aufgabenstellung kompakt.
Gemeinsame Reflexionsphase
Im Anschluss an die Erarbeitungsphase erfolgt eine gemeinsame Reflexion, die die Möglichkeit bietet, Erkenntnisse durch gezielte Impulse auf weitere Zusammenhänge zu übertragen und die Ergebnisse zu sichern. Bei der Auswahl möglicher Ziele für diese Phase ist es wichtig, die individuellen Voraussetzungen und Fähigkeiten der Lernenden zu berücksichtigen, damit alle sowohl aktiv mitwirken als auch von dieser Phase profitieren können (vgl. Häsel-Weide, 2017).
Mehr Informationen zur Aktivierung aller Lernenden in der Reflexionsphase lassen sich finden unter Inhalte: Zahlenrechnen: Videos und Umsetzung.
Im Folgenden werden mögliche Ziele einer gemeinsamen Reflexion vorgeschlagen, sowie Impulse für eine konkrete Umsetzung gegeben. Die Impulse sind als eine Ideensammlung zu verstehen, die genutzt werden kann, um eine Reflexionsphase für die eigene Lerngruppe zu planen. Bei der Gestaltung der Reflexion ist es von Bedeutung, dass Zusammenhänge zwischen den Inhalten hergestellt werden, damit für alle Lernenden auf verschiedenen Ebenen Anknüpfungspunkte für weitere Lernprozesse geschaffen werden können.
Beispielsweise kann es in einem niederschwelligen Einstieg um die Vertiefung der Grundvorstellung Aufteilen und einem möglichen Rest beim Aufteilungsprozess gehen. An dieser Stelle können insbesondere die Lernenden, die sich mit den Forschungsblättern aus der Reduktion beschäftigt haben, ihre Entdeckungen vorstellen. Die gewonnenen Erkenntnisse können übertragen werden auf Teilschritte aus dem Kartenset der schriftlichen Division: „Wie viele Plättchen sind nicht in den Bündeln? Notiere.“ und „Entbündle, was übrigbleibt.“ Lernende, die sich im Rahmen der Erweiterung mit der erweiterten Stellentafel beschäftigt haben, können erklären, was sie über den Rest herausgefunden haben, der am Ende des Aufteilungsprozesses übrigbleibt.
Beispiel für Inhalte einer gemeinsamen Reflexion im Rahmen einer gemeinsamen Lernumgebung, die miteinander verknüpft werden können:
Abbildung 5: Beispiel für mögliche Inhalte einer gemeinsamen Reflexion.
Mögliche Ziele einer gemeinsamen Reflexion
